色の異なる6個の球の並べ方と分け方の問題解法

数学の組み合わせ問題では、与えられた条件に基づいて物の並べ方や分け方を求めることがよくあります。今回は色の異なる6個の球について、さまざまな並べ方や分け方を求める問題を解く方法について解説します。具体的な問題に沿って解法を見ていきましょう。

問題 (1): この球を一列に並べる並べ方は何通りか

6個の異なる球を一列に並べる並べ方は、順列の問題です。順列の公式は以下の通りです。

順列 = n!

ここで、nは並べる球の個数です。この問題では、n=6なので、並べ方は6!（6の階乗）通りです。

6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720

したがって、この球を一列に並べる並べ方は720通りです。

円形に並べる場合、回転による重複を考慮する必要があります。円形の場合、1つの位置を固定すれば、残りの球を並べるだけなので、並べ方は順列よりも1つ少なくなります。

したがって、円形に並べる並べ方は以下のように計算できます。

円形順列 = (n-1)! = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

したがって、この球を円形に並べる並べ方は120通りです。

この問題は、球を3つのグループに分ける問題です。ここでは、1個、2個、3個の組に分ける必要があります。異なる個数のグループに分ける場合は、組み合わせの方法を使います。

まず、6個の球を1個、2個、3個のグループに分ける方法を考えます。これには、以下の計算が必要です。

組み合わせ = (6C1) × (5C2) × (3C3)

計算すると、組み合わせは次の通りです。

(6C1) = 6, (5C2) = 10, (3C3) = 1

したがって、分け方は。

6 × 10 × 1 = 60通り

次に、6個の球を2個ずつの3つの組に分ける場合の分け方を考えます。ここでは、グループが区別されないため、組み合わせを使って計算します。

この場合、次の式で計算できます。

組み合わせ = (6! / (2! × 2! × 2! × 3!))

計算すると。

組み合わせ = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 2 × 1 × 2 × 1 × 3 × 2 × 1) = 15通り

最後に、この6個の球を3人の子供に与える場合、1つももらえない子供がいる場合を考えます。この場合、順番に球を渡す場合の組み合わせを使います。

このような場合、球を3つのグループに分ける方法を計算するには、次のように考えます。

組み合わせ = (6 + 3 – 1)C(3 – 1) = 8C2 = 28通り

したがって、この球を3人の子供に与える方法は28通りです。

この問題では、異なる条件で球を並べたり分けたりする方法を求める問題でした。順列や組み合わせの基本的な考え方を理解し、それぞれの条件に合わせた計算を行うことで解答が得られます。組み合わせ問題では、順番を考慮する場合としない場合で計算方法が異なることに注意が必要です。