中学三年生の数学における問題で、与えられた式の展開と係数を求める方法について解説します。今回は、特に式の展開時に現れる「＋1」の意味に焦点を当て、その理由と手順を詳しく説明します。
問題の理解と式の展開
問題文にある式「(aX + 1)(X + b)」を展開する際、まずは二項式の積の計算を行います。二項式の積を展開する基本的なルールに従い、各項を掛け算していきます。
まず、(aX + 1)(X + b)を展開すると、以下のような形になります。
aX * X + aX * b + 1 * X + 1 * b
展開した後の式
展開結果を整理すると、次のような式になります。
aX² + abX + X + b
この式をさらに整理すると、Xの項をまとめて。
aX² + (ab + 1)X + b
このように、(ab + 1)Xという項が現れる理由は、1 * Xの項が加わるからです。この部分が問題文にある「＋1」の由来です。
なぜ(ab + 1)Xになるのか？
「(ab + 1)X」となった理由は、展開時に1 * Xという項が加わることによります。これを簡単に言えば、式「(aX + 1)(X + b)」を展開する過程で、aXとXを掛けるだけでなく、1とXを掛けた項が出てきます。その結果、Xの項がabXと1X、つまり(ab + 1)Xとなるのです。
簡単に言うと、(aX + 1)(X + b)の展開では、Xに関する項が2つでき、abXとXの1Xが合わさって(ab + 1)Xになるわけです。
問題の解法のステップ
問題文の式「(aX + 1)(X + b) = 3X² + 16X + c」を使って、a, b, cの値を求める手順は以下の通りです。
- 展開した式aX² + (ab + 1)X + bと、右辺の3X² + 16X + cを比較します。
- aX²の係数からa = 3が得られます。
- Xの項を比較して(ab + 1) = 16より、b = 5が求められます。
- 最後に、定数項を比較してb = cが成り立つので、c = 5が得られます。
まとめ
式の展開における「＋1」の意味について理解することが、この問題を解く鍵でした。
「(aX + 1)(X + b) = aX² + (ab + 1)X + b」という展開式を正確に理解し、その結果として出てくる(ab + 1)Xという項が、どのようにして生じるのかを学びました。最終的にa, b, cの値を求める手順に繋がることが分かります。
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