確率論において、条件付き確率は非常に重要な概念です。この問題では、「条件付き確率p(x + y | x)が、xとyが独立であるときp(y)に等しいことを証明せよ」という問いに対して、どのように解くかを解説します。独立性の概念を理解し、条件付き確率の定義に基づいて証明を進めていきます。
条件付き確率の定義
まず、条件付き確率の基本的な定義を確認しましょう。条件付き確率p(A|B)は、事象Bが発生したという条件のもとで、事象Aが発生する確率を表します。式で表すと、次のようになります。
p(A|B) = p(A ∩ B) / p(B)
ここで、p(A ∩ B)は事象Aと事象Bが同時に発生する確率であり、p(B)は事象Bが発生する確率です。
独立性の定義
次に、独立性の概念を復習します。xとyが独立であるとは、xの発生がyの発生に影響を与えないことを意味します。確率で表すと、次のように書けます。
p(x ∩ y) = p(x) * p(y)
この式は、xとyが独立であるときに成り立ちます。独立性を理解することで、条件付き確率の問題を解く際の手がかりになります。
問題の解き方
問題は、「条件付き確率p(x + y | x)が、xとyが独立であるときp(y)に等しいことを証明せよ」という内容です。まず、条件付き確率の定義を適用します。
p(x + y | x) = p((x + y) ∩ x) / p(x)
次に、式を展開していきます。ここで重要なのは、x + yがxとyの和を意味する点です。この場合、(x + y) ∩ x は実際にはxにyが含まれないため、(x + y) ∩ x はxそのものと考えられます。したがって、次のように式を変形できます。
p(x + y | x) = p(x ∩ y) / p(x)
さらに、xとyが独立であるという条件を使うと、p(x ∩ y) = p(x) * p(y) が成り立ちます。これを式に代入すると。
p(x + y | x) = (p(x) * p(y)) / p(x)
p(x)がキャンセルされ、最終的に。
p(x + y | x) = p(y)
証明のまとめ
したがって、xとyが独立であるとき、条件付き確率p(x + y | x)はp(y)に等しいことが証明されました。この結果は、独立性が確率に与える影響を示すものであり、条件付き確率を解く際の重要な法則となります。
まとめ
条件付き確率と独立性に関する証明問題では、定義を正確に適用し、与えられた条件を基に計算を進めることが重要です。この問題を通じて、条件付き確率の理解が深まったと思います。今後、似たような問題に取り組む際にも、独立性の概念をしっかりと押さえておくことが役立ちます。
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