大学数学：線形代数のrankとベクトルに関する問題の解法

線形代数におけるrank（階数）やベクトルの関係は非常に重要な概念です。ここでは、与えられた問題に対して、rankとベクトルの関係について段階的に解説します。問題(1)、(2)、(3)の解法を示し、それぞれの背後にある理論も理解できるように説明します。

1. (1) rank(A) = 0 ⇔ A = 0 の証明

rank(A) = 0ということは、行列Aのランクが0であることを意味します。これは、行列Aに非ゼロの行や列が存在しないことを示しています。

行列Aがランク0である場合、Aのすべての行や列がゼロベクトルであるため、行列Aはゼロ行列になります。逆に、Aがゼロ行列であれば、ランクは当然0です。

したがって、rank(A) = 0 ⇔ A = 0が成り立つことが証明されます。

次に、rank(A) = 1 の場合を考えます。rank(A) = 1は、行列Aが1つの独立した行または列を持つことを意味します。

もし、Aが零行列でない場合、Aの行ベクトルまたは列ベクトルのうち、少なくとも1つは非ゼロです。さらに、この行または列ベクトルは、Aの他の行または列ベクトルと線形独立である必要はありません。むしろ、他のベクトルはそのベクトルのスカラー倍（つまり平行）であることが求められます。

このように、rank(A) = 1 ⇔ Aは零行列ではなく、Aの零ベクトルではない行ベクトルは互いに平行ということが成り立ちます。

ここでは、ベクトルaとbをそれぞれm次元とn次元の列ベクトルとし、これらがゼロベクトルではないと仮定します。a(t * b)のrank（階数）を求める問題です。

まず、t * bはベクトルbの転置（行ベクトル）であるため、a(t * b)はaとbの内積を計算することになります。この内積がスカラー値になるため、a(t * b)はスカラーであり、そのrankは1になります。

すなわち、a(t * b)のrankは1です。このことは、a(t * b)が1次元のベクトルであるため、rankは1であることが分かります。

今回の問題を通じて、行列のrank（階数）とベクトルの関係について重要なポイントを学びました。rankの計算方法は、行列が持つ独立した行や列の数を反映しており、ベクトルがどのように組み合わさっているかを理解するために役立ちます。

線形代数の理解を深めるためには、問題を解く際にしっかりと理論を押さえ、手順に従って計算を行うことが重要です。これにより、より複雑な問題に対しても効果的にアプローチすることができるようになります。