y = x√(x² + 1) の微分方法: 詳細なステップバイステップ解説

関数 y = x√(x² + 1) の微分は、積の微分法と合成関数の微分法を組み合わせて行います。この解説では、微分の基本的なルールを順を追って説明しながら、具体的な計算手順を紹介します。

微分の準備: 積の微分法と合成関数の微分法

まず、関数 y = x√(x² + 1) は、x と √(x² + 1) の積として表されます。このため、積の微分法を使って微分を行う必要があります。積の微分法は、次のように表されます。

もし f(x) = g(x) ・ h(x) であれば、f'(x) = g'(x) ・ h(x) + g(x) ・ h'(x) となります。

この関数において、g(x) = x と h(x) = √(x² + 1) と置きます。次に、それぞれの微分を求めます。

1. g(x) = x の微分は、g'(x) = 1 です。

2. h(x) = √(x² + 1) の微分を求めるためには、合成関数の微分を使用します。h(x) を x² + 1 の平方根として表すと、h'(x) = (1/2)(x² + 1)^(-1/2) ・ 2x = x / √(x² + 1) となります。

次に、積の微分法を使用して、y = x√(x² + 1) の微分を求めます。

y’ = g'(x) ・ h(x) + g(x) ・ h'(x)

これを代入すると、y’ = 1 ・ √(x² + 1) + x ・ (x / √(x² + 1)) となります。

さらに簡略化すると、y’ = √(x² + 1) + x² / √(x² + 1) です。

y’ = √(x² + 1) + x² / √(x² + 1) の式をさらに簡単にするために、分数を通分します。

y’ = (x² + 1 + x²) / √(x² + 1) となり、y’ = (2x² + 1) / √(x² + 1) が最終的な微分結果です。

y = x√(x² + 1) の微分は、積の微分法と合成関数の微分法を組み合わせることで解くことができます。最終的な微分結果は、y’ = (2x² + 1) / √(x² + 1) です。このような微分を行う際には、基本的な微分法則をしっかり理解し、ステップを踏んで計算することが重要です。