「a^{1/2} + b^{1/2} + c^{1/2} + … + z^{1/2} が有理数になる有理数」を求める問題は、一見非常に難しいですが、実は理論的に整理することで解くことが可能です。この問題を解くためには、平方根が有理数になる条件を理解し、どのような値を持つべきかを分析することが重要です。
平方根が有理数になるための条件
まず、平方根が有理数になるためには、平方根の中身が完全な平方数である必要があります。例えば、√4 = 2 は有理数ですが、√2 は無理数です。したがって、各変数（a, b, c, …, z）に対して、平方根が有理数になるためには、それぞれが完全な平方数でなければなりません。
この条件を踏まえた上で、問題に与えられた式を整理していきます。式は「a^{1/2} + b^{1/2} + … + z^{1/2}」であり、この和が有理数になるためには、各項が有理数となる必要があります。
式の整理と解析
式「a^{1/2} + b^{1/2} + … + z^{1/2}」が有理数となるためには、各項 a, b, c, …, z が平方数でなければならないと前述しました。したがって、a, b, c, …, z はそれぞれ平方数である必要があります。
これをさらに詳細に考えると、a, b, c, …, z のすべてが1, 4, 9, 16, 25 などの完全な平方数である必要があります。もしこれらの値が任意の非平方数であれば、平方根が無理数となり、式の和も無理数になります。
有理数となる具体的な値の求め方
具体的に a, b, c, …, z にどのような値を与えるべきかを求めるためには、各項が整数の平方数であることを確認する必要があります。例えば、a = 1, b = 4, c = 9, というように設定することができます。
ここで、a, b, c, …, z に適切な平方数を割り当てることで、式「a^{1/2} + b^{1/2} + … + z^{1/2}」は有理数になります。したがって、a = 1, b = 4, c = 9, …, z = 625 のように、すべての変数を完全な平方数にすることで、この式が有理数となることが示されます。
証明: それしかないことの確認
このように、各変数を平方数に限定することで、式が有理数になることが確認できました。逆に、任意の非平方数を含むと、その平方根が無理数となり、式全体が無理数になります。
したがって、a, b, c, …, z の全てを平方数に限定した場合、それ以外の選択肢は存在しないことが証明されます。この制約を満たす解が唯一であることが確認できます。
まとめ
「a^{1/2} + b^{1/2} + … + z^{1/2} が有理数になる有理数」を求める問題は、各項が平方数である必要があることに気づくことで解決できます。すべての変数が平方数であれば、平方根が有理数となり、その和も有理数になります。この解法によって、問題が唯一の解を持つことが証明されました。
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