三角関数の倍角公式と加法定理の使い方

三角関数における倍角公式や加法定理は、数学や物理学でよく使用される重要な公式です。ここでは、倍角公式や加法定理に基づく問題を解く方法について解説します。特に、問題に記載された内容に沿った形で、三角関数の式を整理していきます。

1. 1.2倍角の公式のxに2Θを代入し整理する

1.2倍角の公式は、以下の形になります。

cos(2Θ) = cos²(Θ) – sin²(Θ)

この式にxに2Θを代入すると、x = 2Θになりますので、式をそのまま使います。

次に整理します。

cos(2Θ) = cos²(Θ) – sin²(Θ)

これは、2倍角の公式を示す式です。よって、2Θが代入された状態で公式をそのまま使って計算を行うことができます。

2倍角の公式は以下のようになります。

cos(2Θ) = 2cos²(Θ) – 1

この公式にx = Θ/2を代入します。

cos(Θ) = cos(2Θ/2) = 2cos²(Θ/2) – 1

ここで重要なのは、公式の変数を変えることです。このように、倍角公式は変数がどう変わるかに応じて式を再構築することができます。

加法定理を使って、3倍角の公式を導きます。加法定理の式は以下の通りです。

sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)

まず、α = 2x、β = x を代入します。これにより、次の式になります。

sin(3x) = sin(2x + x) = sin(2x)cos(x) + cos(2x)sin(x)

ここから、sin(2x)やcos(2x)の倍角公式を代入して整理します。

sin(3x) = (2sin(x)cos(x))cos(x) + (cos²(x) – sin²(x))sin(x)

この式を簡単にすると、3倍角の公式が得られます。

倍角公式や加法定理を使って、三角関数の式を整理し、特定の角度に関連する式を導く方法を解説しました。問題における式の代入と整理を行うことで、三角関数を効率よく理解し、解くことができるようになります。