数Ⅱの問題で、「cosθ + sinθ = √3/2」、「π/2 < θ < π」という条件が与えられたときに、cosθ - sinθの値を求める方法について解説します。解答を導くために重要なポイントは、三角関数の性質を活用することです。この記事では、解法のステップを順を追って説明し、どのようにして答えにたどり着くのかを解説します。
1. 問題の整理と与えられた条件の確認
まず、与えられた条件を整理します。問題で与えられているのは。
- cosθ + sinθ = √3/2
- π/2 < θ < π
この条件を使って、cosθ – sinθの値を求めることが目的です。特に、θが第2象限（π/2 < θ < π）にあることを意識することが重要です。この範囲では、cosθは負の値を取ることに注意しましょう。
2. cos²θ + sin²θ = 1を利用する
次に、三角関数の基本的な恒等式であるcos²θ + sin²θ = 1を利用します。この恒等式を使うことで、cosθ + sinθとcosθ – sinθの関係を導きやすくなります。
まず、(cosθ + sinθ)²を展開します。
(cosθ + sinθ)² = cos²θ + 2cosθsinθ + sin²θ
ここで、cos²θ + sin²θ = 1 なので、式は次のように簡略化されます。
1 + 2cosθsinθ = (cosθ + sinθ)²
与えられた条件cosθ + sinθ = √3/2を代入して、この式を使って2cosθsinθを求めることができます。
3. 2cosθsinθを求める
次に、cosθ + sinθ = √3/2を使って、2cosθsinθを計算します。
1 + 2cosθsinθ = (√3/2)²
ここで、(√3/2)² = 3/4となるので、式は次のようになります。
1 + 2cosθsinθ = 3/4
この式から、2cosθsinθを求めると。
2cosθsinθ = 3/4 – 1 = -1/4
この結果を使って、cosθ – sinθを求めるステップに進みます。
4. cosθ – sinθの値を求める
次に、cosθ – sinθの値を求めます。cosθ – sinθの二乗は次のように展開できます。
(cosθ – sinθ)² = cos²θ – 2cosθsinθ + sin²θ
ここでも、cos²θ + sin²θ = 1を使って、式を簡単化します。
(cosθ – sinθ)² = 1 – 2cosθsinθ
先ほど求めた2cosθsinθ = -1/4を代入して、次のようになります。
(cosθ – sinθ)² = 1 – (-1/4) = 1 + 1/4 = 5/4
したがって、cosθ – sinθの絶対値は√(5/4) = √5/2となります。
この結果から、θが第2象限にあることを考慮すると、cosθ – sinθは負の値になります。したがって、cosθ – sinθ = -√5/2となります。
まとめ
この問題では、与えられた条件をもとに三角関数の恒等式や式の展開を利用して、cosθ – sinθの値を求めました。重要なのは、三角関数の基本的な性質を理解し、計算を順を追って進めることです。このように、三角関数の計算を解くためには、公式や恒等式をうまく活用することが鍵となります。
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