数学の問題で、方程式x³ – 3x – |x – m| = 0の実数解の個数を求める問題が出てきました。この方程式は、絶対値を含むため解法に工夫が必要です。特に、この問題をmで定数分離して解く方法について詳しく解説します。この記事では、方程式の解法のステップを丁寧に説明します。
問題の分析：絶対値を含む方程式の取り扱い
方程式x³ – 3x – |x – m| = 0は、絶対値|x – m|を含んでいます。絶対値を含む方程式を解く際には、絶対値の定義に基づいて場合分けを行う必要があります。絶対値の性質を理解しておくことが、解法への第一歩です。
具体的には、|x – m|は次の2つの場合に分けることができます。
- 1. x – m ≥ 0 の場合、|x – m| = x – m
- 2. x – m < 0 の場合、|x - m| = -(x - m)
このように、絶対値を外すことで方程式を簡単に扱えるようになります。
場合分けをして方程式を解く
方程式x³ – 3x – |x – m| = 0を解くために、まず絶対値を含む部分を場合分けします。まずは、x – m ≥ 0 の場合を考えてみましょう。
この場合、方程式は次のようになります。
- x³ – 3x – (x – m) = 0
これを展開すると。
- x³ – 3x – x + m = 0
- x³ – 4x + m = 0
次に、x – m < 0 の場合も考えます。ここでは方程式は次のようになります。
- x³ – 3x + x – m = 0
- x³ – 2x – m = 0
このように、場合ごとに異なる方程式が得られます。次のステップでは、これらの方程式を解く方法について説明します。
解法：mによる定数分離と解の個数の決定
次に、得られた2つの方程式について、mを用いて定数分離を行い、解の個数を求めます。
まず、x³ – 4x + m = 0という方程式を解くと、mの値によって解の個数が決まります。この方程式の解の個数は、mの値によって変動し、実数解が1つまたは3つになる可能性があります。
次に、x³ – 2x – m = 0の方程式も同様に解きます。こちらもmに依存する解が得られます。これにより、解の個数を正確に求めることができます。
まとめ：mで定数分離して解く方法と実数解の個数の求め方
絶対値を含む方程式x³ – 3x – |x – m| = 0を解くためには、まず絶対値の定義に従って場合分けを行い、その後得られた2つの方程式を解くことが重要です。
また、mを用いて定数分離を行うことで、解の個数を決定できます。実数解の個数はmの値によって変動し、具体的な解を求めるためにはmの範囲を確認しながら計算を進めることが必要です。これらのステップを踏むことで、正しい答えを導き出すことができます。
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