等比数列の計算式に関する質問では、数式の変換や計算の理由を理解することが重要です。今回の質問では、an=3/2×2^n-1という式が、なぜ3×2^n-2という形になるのかという疑問について解説します。この記事では、その計算過程をわかりやすく説明します。
等比数列の基本的な構造
等比数列とは、各項が前の項に一定の比率（公比）を掛けることで得られる数列です。一般的な等比数列の式は、初項a1と公比rを使って表され、n番目の項はan = a1 × r^(n-1)という形になります。
例えば、最初の項が3、共通比が2の場合、数列は次のように進みます：3, 6, 12, 24, 48…。数列のn番目の項を求めるためには、この式に適切な値を代入して計算します。
式の変換の説明：an=3/2×2^n-1からan=3×2^n-2へ
質問にある式an=3/2×2^n-1は、計算の途中で式がどのように変化するのかという問題です。まず、式を展開してみましょう。
an = 3/2 × 2^n – 1という式は、分数と指数の演算が含まれています。ここで、分数の部分（3/2）は、nの指数部分（2^n）と掛け算されています。最初に3/2を2^nに掛けることで、3×2^n/2となり、次に1を引いています。
式の展開方法
an = 3/2 × 2^n – 1の式を整理すると、最終的に3×2^n – 2という形になります。この変換の理由は、分数部分を先に掛け算して計算し、その後で引き算を行うからです。
まず、3/2 × 2^nの部分を計算すると、分母の2と指数の部分が相殺され、3×2^n/2となります。ここから1を引くと、最終的に3×2^n – 2という形になります。この式は、初めの式を簡単にしたものと言えます。
なぜこのように式を変換するのか
式の変換には数学的な手法があり、特に指数や分数を含む式では、掛け算と引き算をうまく利用して簡潔な形にすることが重要です。例えば、分数部分がある場合、その分子と分母を相殺して簡略化し、最終的に使いやすい形にすることがよく行われます。
このように計算すると、問題がシンプルに見え、より直感的に理解できるようになります。
まとめ：an=3×2^n-2の計算過程と理由
今回の問題では、式an=3/2×2^n-1を展開して、最終的にan=3×2^n-2に変換する過程を解説しました。分数部分を最初に掛け算し、次に引き算を行うことで、シンプルな式に変わることがわかりました。
等比数列の計算は、数式を理解しながら計算を進めることが大切です。この方法を覚えておくことで、今後同じような問題に直面したときにもスムーズに解けるようになるでしょう。
コメント