行列Aの固有値を求める方法：線形代数のアプローチ

線形代数において行列の固有値を求める方法について、特に行列A=[[3,5,5], [2,6,2], [1,1,7]]の固有値を求める問題に焦点を当てて解説します。固有値を求める際に、「ゴリ押し」以外の方法を探している方に向けた説明を行います。

固有値の定義と基本的な方法

まず、行列の固有値とは何かを理解することが重要です。行列Aの固有値は、行列Aと固有ベクトルvが関係する方程式Av = λvを満たすλの値です。この方程式を解くことで、行列Aの固有値を求めることができます。

固有値は、行列A – λI（ここでIは単位行列）の行列式が0になるλの値として定義されます。この式を解くことで、固有値が求められます。

問題となっている行列Aの固有値を求めるには、まずA – λIを計算します。

行列A – λIは次のようになります。

A - λI = [[3-λ, 5, 5], [2, 6-λ, 2], [1, 1, 7-λ]]

次に、この行列の行列式を求めます。行列式を計算すると、固有値を求めるための方程式が得られます。この行列式がゼロになるλの値を求めることで、固有値を見つけることができます。

行列式を計算するには、行列A – λIの行列式を展開します。この展開を行うことで、λに関する多項式が得られます。例えば、行列式を計算してみると、以下のような式になります。

det(A - λI) = (λ^3 - 16λ^2 + 81λ - 126)

この多項式を解くことで、固有値λを求めることができます。得られたλの値が行列Aの固有値です。

固有値を求める方法として、「ゴリ押し」のように手計算で行列式を展開する方法もありますが、代数的に効率的な解法としては、この行列式の解法を基にした数値計算を用いることも有効です。特に行列のサイズが大きくなると、数値解析的手法を用いたアプローチが必要となります。

また、行列の固有値を求める際に、行列の対称性や構造を活かした方法を考えることも大切です。対称行列においては、固有値は実数になることが知られており、これを利用して問題を解くことができます。

行列Aの固有値を求める方法は、まず行列A – λIを計算し、その行列式を求めて固有値を得ることです。この手順を理解し、実際の問題にどのように適用するかを学ぶことで、固有値を効率的に計算できます。また、数値解析的なアプローチも有用ですので、計算手法を使い分けることが大切です。