この問題では、与えられた2次関数y = x² + (a – 1)x + bに関する様々な質問に答える方法を解説します。特に、放物線の頂点の座標を求めることや、放物線がx軸と交わる条件を考える問題が含まれています。各ステップを詳しく見ていきましょう。
1. 放物線の頂点とbの関係
まず、与えられた2次関数の一般的な形は、y = x² + (a – 1)x + bです。この関数の頂点を求めるために、まずはbをaで表す式を導きます。与えられた条件「Gは点(-1,4)を通る」という情報を使います。
点(-1,4)を通るので、x = -1とy = 4を代入して式を解きます。
4 = (-1)² + (a – 1)(-1) + b
これを計算して、b = a + 1が得られます。したがって、b = a + 1という関係式が成り立ちます。
2. 放物線の頂点の座標の求め方
次に、放物線の頂点の座標を求める方法です。2次関数y = x² + (a – 1)x + bの頂点のx座標は、一般的にx = -b/2aの式を使います。
ここで、a = 1なので、x = – (a – 1) / 2となります。これを使って頂点のx座標を求めると、x = -a + 1となります。
次に、頂点のy座標を求めるために、x = -a + 1を元の式に代入して計算します。これにより、頂点のy座標は-a² + a + bと表されます。
3. 放物線の交点と条件
次に、放物線がx軸と交わる条件を考えます。放物線がx軸と交わるためには、y = 0となる点が必要です。このため、y = x² + (a – 1)x + b = 0となる解を求めます。
この二次方程式の解が実数であるためには、判別式D = (a – 1)² – 4bが非負である必要があります。この条件を使って、aの範囲を求めます。具体的には、a < ケコの範囲に収束することがわかります。
4. 放物線の2点での交点の条件
放物線がx軸と異なる2点で交わるための条件を求めます。この場合も判別式Dを使いますが、2点で交わるためにはDが正である必要があります。具体的には、D > 0が成立する範囲が求められます。
このように、判別式を使ってaの範囲を絞り込み、放物線が2点でx軸と交わるための条件を導きます。サシ < a < スセ の範囲が求められます。
5. 解を満たす整数の個数の範囲
最後に、x² + (a – 1)x + b < 0 を満たす整数がちょうど6個存在する条件を求めます。この条件では、放物線の一部がx軸より下にある区間に6個の整数が含まれる範囲を求めます。
この条件を満たすaの範囲を求めることで、解を得ることができます。具体的には、ソタチ / ツ <= a < テトナ / ニの範囲で解が6個存在することが確認できます。
まとめ
この問題では、与えられた2次関数の式から放物線の頂点の座標を求め、放物線がx軸と交わる条件を判別式を使って求める方法を学びました。さらに、放物線が異なる点で交わるためのaの範囲や、x軸より下にある区間に整数が含まれる条件も求めました。数学の問題では、式の変形や判別式をうまく活用することが重要です。
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