相加相乗平均の問題：最小値とその時のxの値を求める方法

相加相乗平均の問題は、関数の最小値や最大値を求める際に非常に重要です。今回は、次の式「x + 2/(x + 1)」の最小値とその時のxの値を求める方法について解説します。この問題は、微分を使って最小値を求める典型的な例です。

1. 関数の定義

与えられた関数は「f(x) = x + 2/(x + 1)」です。この関数の最小値を求めるためには、まず微分を行い、関数の増減を調べます。

関数の形を見て、xの値に依存する2つの項から成り立っています。まずは、この関数の微分を求めて最小値を特定します。

関数f(x) = x + 2/(x + 1)の微分を行います。ここで微分のルールを使って、xの1次項と2/(x + 1)の項をそれぞれ微分します。

f'(x) = 1 – 2/(x + 1)^2です。次に、この微分結果を使って、f'(x) = 0となるxの値を求めます。

f'(x) = 0のとき、1 – 2/(x + 1)^2 = 0 となります。この式を解くと、(x + 1)^2 = 2 となり、x + 1 = ±√2 です。

よって、x = -1 + √2 または x = -1 – √2 の2つの解が得られます。

次に、得られたxの値が最小値を与えるかどうかを確認します。通常、このような場合、2次導関数または増減表を使って確認することができます。

もしx = -1 + √2が最小値を与えるなら、この点でのf(x)の値が最小値となります。

このようにして、関数「x + 2/(x + 1)」の最小値とその時のxの値を求めることができます。微分を用いて関数の変化を調べることで、最小値を見つけることができました。

最終的に得られた最小値のxの値は「-1 + √2」であり、関数の最小値はこの値で達成されます。