単射関数と集合の包含関係の証明：f(A-P) ⊂ f(A) – f(P) の理解

この問題では、単射関数 f: A → B における集合の包含関係について考察します。特に、f(A-P) ⊂ f(A) – f(P) の証明について詳しく解説します。この証明は、単射性を活用して、関数がどのように集合間での対応関係を確立するかを理解するための重要なステップとなります。

単射関数の定義とその特性

まず、単射関数について確認しましょう。単射関数（または1対1対応）は、異なる入力が常に異なる出力に対応する関数です。つまり、もし f(a1) = f(a2) ならば、a1 = a2 が成り立ちます。この特性が、集合の包含関係の証明において非常に重要です。

例えば、関数 f: A → B が単射であれば、A の異なる要素が B の異なる要素に対応します。したがって、集合 A の部分集合 P を除いた A-P に対応する f(A-P) は、f(P) を除いた f(A) に含まれることが示されます。

証明の概要：f(A-P) ⊂ f(A) – f(P)

問題では、f(A-P) ⊂ f(A) – f(P) の証明が求められています。この証明では、まず任意の b ∈ f(A-P) を取ります。そして、b が f(A) – f(P) に含まれることを示す必要があります。

具体的には、b ∈ f(A-P) であれば、ある a ∈ A-P が存在し、f(a) = b となります。この時、a は A に属し、かつ P には含まれません。これにより、b = f(a) は f(A) に含まれることが分かります。また、a ∉ P であるため、b = f(a) は f(P) に含まれません。これにより、b ∈ f(A) – f(P) であることが示されます。

逆方向の証明：f(A) – f(P) ⊂ f(A-P)

次に、逆方向の包含関係、すなわち f(A) – f(P) ⊂ f(A-P) を証明する必要があります。これは、任意の b ∈ f(A) – f(P) に対して、b ∈ f(A-P) であることを示すことです。

まず、b ∈ f(A) – f(P) であれば、b = f(a) となる a ∈ A が存在し、かつ b ∉ f(P) です。したがって、a ∉ P であり、a ∈ A-P となります。これにより、b = f(a) が f(A-P) に含まれることが分かります。したがって、f(A) – f(P) ⊂ f(A-P) が成り立ちます。

まとめ

この問題では、単射関数における集合の包含関係 f(A-P) ⊂ f(A) – f(P) の証明を行いました。単射関数の特性を利用することで、ある集合の部分集合間での関係を明確に示すことができました。また、逆方向の包含関係の証明も重要であり、関数の性質を理解することで、集合論や関数論における深い理解が得られます。