複素数を含む平方根の計算：高校数学の解き方と例題解説

高校数学では、複素数を含む平方根の計算問題が出題されることがあります。これらの問題は、実数だけでなく虚数も関わってくるため、少し難しく感じることもあります。この記事では、複素数を含む平方根の計算方法を一緒に確認し、具体的な例題を解きながら解説します。

1. √14 / √-2 = √7 の計算

最初の問題は、√14 / √-2 = √7 という式です。まず、√-2 の部分に注目してください。平方根に負の数が含まれている場合、虚数単位「i」を使うことになります。虚数単位iは、i² = -1 という性質を持っています。

√-2 は、√2 × √-1 と考え、√-2 = √2 × i となります。これを使って式を解くと、次のようになります。

√14 / √-2 = √14 / (√2 × i) = (√14 / √2) × (1 / i) = √7 × (-i) = -i√7

したがって、この式の答えは√7 ではなく、-i√7 です。

次に、√12 / √-3 = 2 の式を解いてみましょう。こちらも負の数を含んでいますので、虚数単位「i」を使います。√-3 は、√3 × √-1 と考えて、√-3 = √3 × i となります。

式を整理すると。

√12 / √-3 = √12 / (√3 × i) = (√12 / √3) × (1 / i) = 2√3 × (-i) = -2i√3

したがって、この式の答えも2ではなく、-2i√3 です。

最後の問題は、(√-5 + √-3)² = -8 – 2√15i です。まず、√-5 と √-3 をそれぞれ虚数単位「i」を使って計算します。

√-5 = √5 × i、√-3 = √3 × i

したがって、(√-5 + √-3) は次のように書き換えられます。

(√5 × i + √3 × i) = (√5 + √3) × i

これを二乗すると。

((√5 + √3) × i)² = (√5 + √3)² × (-1) = -(√5 + √3)²

式を展開すると。

-(5 + 2√15 + 3) = -8 – 2√15

したがって、この式の答えは -8 – 2√15i となり、問題の答えは正しいことが確認できます。

複素数を含む平方根の計算では、負の数の平方根を虚数単位「i」を使って解くことが重要です。具体的な計算方法は、まず負の平方根を虚数として扱い、式を整理していきます。これらの計算方法をしっかりと理解しておくと、複素数を含む問題にも自信を持って取り組めるようになります。

今回の例題では、虚数単位iを使って平方根を解きましたが、複素数に関連する計算は他にも多くあります。ぜひ、さらに練習を重ねて理解を深めていきましょう。