数学の式展開は、特に複雑な因数を含む場合、少し難しく感じることがあります。特に、(x – y)(x + y)(x² + xy + y²)(x² – xy + y²) のような式を展開する際には、順序を守りながら計算を進めることが大切です。この記事では、この式をどのように展開するかを、ステップバイステップでわかりやすく解説します。
式展開の基本：因数分解の理解
まず、式展開に入る前に基本的な因数分解のルールを確認しておきましょう。因数分解とは、複数の項を掛け合わせて1つの式にする操作です。今回の式には複数の因数が含まれており、それぞれを順番に展開していく必要があります。
式展開の基本を抑えておけば、複雑な式でも扱いやすくなります。例えば、(x – y)(x + y) の部分は、差の二乗の公式を使うと簡単に展開できます。
(x – y)(x + y) の展開
最初の部分である (x – y)(x + y) を展開します。ここでは、差の二乗の公式を使用します。
(x – y)(x + y) = x² – y² となります。これを展開すると、x²からy²を引いた形になります。この展開を最初に済ませておくことで、次に進む準備が整います。
(x² + xy + y²)(x² – xy + y²) の展開
次に、(x² + xy + y²)(x² – xy + y²) の展開に進みます。こちらも2つの多項式を掛け算する形ですので、分配法則を使って各項を展開します。
具体的には、x²に(x² – xy + y²) を掛け、次にxyに(x² – xy + y²) を掛け、最後にy²に(x² – xy + y²) を掛けます。これを順に計算していきます。
実際に式を展開してみよう
それでは、全ての因数を掛け合わせて式を展開してみましょう。
まず、(x² + xy + y²) と (x² – xy + y²) を順番に展開していきます。詳細な手順は以下の通りです。
- x² × x² = x⁴
- x² × (-xy) = -x³y
- x² × y² = x²y²
- xy × x² = x³y
- xy × (-xy) = -x²y²
- xy × y² = xy³
- y² × x² = x²y²
- y² × (-xy) = -xy³
- y² × y² = y⁴
このように各項を展開すると、最終的な式は次のようになります。
x⁴ – x³y + 2x²y² – xy³ + y⁴
展開後の式の整理
最後に、展開された式を整理します。同じ項があればまとめることができます。
展開後の式は、x⁴ – x³y + 2x²y² – xy³ + y⁴ となります。ここでは特に同じ項をまとめる必要はありませんが、展開した項を整理して最終形にすることが大切です。
まとめ
今回の式 (x – y)(x + y)(x² + xy + y²)(x² – xy + y²) の展開方法を紹介しました。最初に差の二乗の公式を使い、次に分配法則を使って各項を展開する方法を順番に追っていきました。このように複雑な式でも、少しずつ展開していけば簡単に解けることがわかります。
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