P(x)=x^4+5x^2+a^2x+2aをx+1で割った余りが3であるときの定数aの値を求める方法

「P(x)=x^4+5x^2+a^2x+2aをx+1で割った余りが3であるとき、定数aの値を求めよ。」という問題は、代数的な技法で解くことができます。この問題では、余り定理を用いて定数aの値を求める方法を解説します。

1. 余り定理とは？

余り定理は、ある多項式をx-cで割ったときの余りがP(c)に等しいという定理です。言い換えれば、P(x)を(x-c)で割った余りは、P(c)の値になります。これは多項式の評価を簡単に行うための便利な方法です。

今回の問題でも、この余り定理を使って解きます。

与えられた多項式は、P(x) = x^4 + 5x^2 + a^2x + 2aです。そして、この多項式をx+1で割った余りが3であるという条件が与えられています。つまり、P(-1) = 3であることがわかります。

この条件を使って、aの値を求めることができます。

P(x)にx = -1を代入してP(-1)を求めます。

P(-1) = (-1)^4 + 5(-1)^2 + a^2(-1) + 2a = 1 + 5 – a^2 + 2a = 6 – a^2 + 2a

この余りが3であるという条件から、次の式が得られます。

6 – a^2 + 2a = 3

これを解くと、a^2 – 2a – 3 = 0 という二次方程式が得られます。

二次方程式a^2 – 2a – 3 = 0を解くために、因数分解を行います。

(a – 3)(a + 1) = 0

したがって、a = 3 または a = -1 となります。

この問題では、aの値が3または-1のいずれかであることがわかります。したがって、定数aの値は3または-1です。

余り定理を用いることで、こうした代数的な問題を効率よく解くことができます。