確率密度関数を使った問題は、高校数学の中でもよく出題されるテーマです。この記事では、確率変数Xのとる値の範囲と確率密度関数を使って、定数aを求める方法と確率P(X)を計算する方法を解説します。具体的な問題を解きながら理解を深めましょう。
1. 問題の整理
問題では、確率変数Xのとる値の範囲が-2 <= X <= 2と与えられています。また、確率密度関数はf(x) = a(1 - 1/2|x|)となっており、この式を基にいくつかの値を求めていきます。
まず、確率密度関数の定義に基づいて、f(x)が確率密度であるためには、積分が1になる必要があります。このことを利用して定数aを求めることができます。
2. 定数aを求める
確率密度関数f(x)が正しい確率密度関数であるためには、次の式が成立する必要があります。
∫[−2, 2] f(x) dx = 1
f(x) = a(1 – 1/2|x|)を積分します。ここで、|x|はxの絶対値です。まずは、この関数をxについて積分します。
この積分を行うと、次のような式になります。
a * ∫[−2, 2] (1 – 1/2|x|) dx = 1
積分を実行すると、aが求まります。この結果として、a = 1/2となります。
3. P(0
次に、確率P(0 <= X <= 1)を求めます。この確率は、確率密度関数f(x)の積分によって求めることができます。具体的には、次のような式になります。
P(0 <= X <= 1) = ∫[0, 1] f(x) dx
f(x)にa = 1/2を代入し、積分を実行すると、次のように計算できます。
1/2 * ∫[0, 1] (1 – 1/2|x|) dx
この積分を解くと、P(0 <= X <= 1) = 3/4 という結果が得られます。
4. P(-1
次に、P(-1 <= X <= 1.6)を求めます。確率は、積分によって求められます。
P(-1 <= X <= 1.6) = ∫[−1, 1.6] f(x) dx
ここでも、f(x)にa = 1/2を代入し、積分を実行します。
1/2 * ∫[−1, 1.6] (1 – 1/2|x|) dx
積分を解くと、P(-1 <= X <= 1.6) = 1.35 という結果が得られます。
5. まとめ：確率密度関数の計算方法
今回の問題では、確率密度関数を使って、定数aを求める方法や確率P(X)を計算する方法を学びました。確率密度関数は、確率を求めるために非常に重要なツールであり、積分を用いた計算方法を理解することで、さまざまな確率問題に取り組むことができます。
数学の問題において、積分を使った確率の計算は基本的なスキルです。しっかりと練習して、確率や積分に対する理解を深めていきましょう。
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