∮1/{(x-1)^2(x-3)^3}dx の積分の解法とステップ解説

積分を解く際には、正しい手順と解法を理解することが非常に重要です。特に、複雑な式や多項式が含まれる積分では、その手法を適切に選ぶことがカギとなります。この記事では、積分 ∮1/{(x-1)^2(x-3)^3}dx の解法について、詳しく解説していきます。

問題の整理と積分の設定

まず、与えられた積分式を見てみましょう。式は次のように表されています。

∮1/{(x-1)^2(x-3)^3}dx

この積分は、分母に多項式の積がある有理関数の形をしています。このような積分を解くためには部分分数分解を使用することが一般的なアプローチです。

部分分数分解は、有理関数の積分を簡単にするための基本的な手法です。与えられた式の分母 {(x-1)^2(x-3)^3} を因数分解し、それぞれの部分に分けて計算します。

分母の因数は二つの異なるタイプがあります。まず (x-1)^2 の部分、そして (x-3)^3 の部分です。それぞれに対応する定数を設定し、式を次のように分解します。

1/{(x-1)^2(x-3)^3} = A/(x-1) + B/(x-1)^2 + C/(x-3) + D/(x-3)^2 + E/(x-3)^3

分数式を分解した後、定数 A, B, C, D, E を求めるために、両辺を共通の分母にして方程式を解きます。このとき、特定の x の値を代入して、各定数を求めることができます。

例えば、x = 1 を代入すると、A および B の定数を求めることができます。同様に、x = 3 を代入すると、C, D, E の定数を求めることができます。

定数が決まった後、次に行うのはそれぞれの項の積分です。それぞれの項について積分を行います。

例えば、A/(x-1) や C/(x-3) といった項は、基本的な対数積分の形式に従って積分を行います。その他の項も、各定数とともに同様に積分していきます。

各項を積分し終わった後、それらを合成して最終的な積分結果を得ます。すべての項を積分した後、定数項を加えた式が最終的な答えとなります。

この積分は、最終的に適切な定数を加えた形で表現されますが、式の詳細な計算過程は、部分分数分解と積分の基本的な理解に基づいています。

積分 ∮1/{(x-1)^2(x-3)^3}dx を解くためには、まず部分分数分解を使用して分母を分解し、その後それぞれの項を積分していきます。この手順を通じて、有理関数の積分を効率的に解くことができます。

積分の計算においては、部分分数分解を適切に使用し、定数を求める方法を理解することが非常に重要です。これにより、複雑な積分問題もスムーズに解けるようになります。