∫1からX t log t dtの微分方法: 積分と微分の手順

数学の問題では、積分と微分を組み合わせた問題がよく出題されます。この問題では、積分された関数をXで微分することが求められています。具体的には、関数 ∫1からX t log t dt を微分せよという問題です。この記事では、この問題をどのように解くか、手順をわかりやすく解説します。

1. 問題の整理と微分の基本

まず、与えられた関数は積分の形をしています。この積分は、下限が1、上限がXである定積分です。このような積分をXで微分する場合、微分積分学の基本的な定理を使用します。具体的には、微分と積分が逆操作であることを利用します。

積分の結果をXで微分する際には、微分積分学の基本定理に従って、積分区間の上限Xで微分を行います。

積分の形 ∫1からX t log t dt に対して、微分積分学の基本定理を適用すると、積分区間の上限Xでの微分は、積分内の関数 t log t をそのまま評価したものとなります。具体的には、次の式が成り立ちます。

d/dX ∫1からX t log t dt = X log X

この結果からわかるように、積分の上限がXである場合、微分は積分内の関数に上限Xを代入したものになります。

問題の条件に「X > 0」とあるため、この式を解く際には、Xが正の値であることを考慮する必要があります。Xが0または負の値だと、log Xが定義されないため、この式は成り立たないことになります。

したがって、解答は X log X であり、X > 0 の範囲で適用されることを確認できます。

微分積分学において、積分を微分する際に積分の上限を微分するという基本定理をしっかり理解することが大切です。また、Xが正であるという条件も確認しておく必要があります。

この問題では、積分と微分の関係を利用して、簡単にX log Xという結果を得ることができました。このような問題では、微分積分学の基本定理をしっかりと活用することが解法の鍵となります。

関数 ∫1からX t log t dt をXで微分する問題では、微分積分学の基本定理を使用して、積分の上限がXである場合、積分内の関数をそのまま評価することで解答が得られます。この場合、答えは X log X となり、X > 0 の範囲で有効です。

このように、積分と微分を組み合わせた問題では、基本定理を正しく理解し、適切に適用することが重要です。