この記事では、実数値関数f(t)とg(t)に関する定積分の等式が成り立つ場合に、f(t)とg(t)が等しいことを証明する方法を解説します。特に、任意の複素数sに対して次の式が成り立つとき、f(t) = g(t)が成立する理由を詳しく説明します。
1. 問題の確認
問題は次のように表現されます。
ʃ[0→∞] e⁻ˢᵗf(t) dt = ʃ[0→∞] e⁻ˢᵗg(t) dt
この式が成り立つとき、f(t) = g(t)であることを証明する必要があります。まず、この定積分が示す意味を理解し、次にその証明を進めていきます。
2. 定積分の性質
ここで扱う定積分は、複素数sに依存する積分です。関数f(t)とg(t)は、t ≧ 0 の範囲で実数値を取る関数として定義されています。このような積分は、特にラプラス変換においてよく見られる形式です。
一般的に、ラプラス変換では、ある関数f(t)に対して次のように定義されます。
F(s) = ʃ[0→∞] e⁻ˢᵗf(t) dt
したがって、問題の式はf(t)とg(t)のラプラス変換が等しいことを意味しています。
3. ラプラス変換の逆変換
ラプラス変換が等しい場合、その逆変換も一致することがわかります。つまり、f(t)とg(t)のラプラス変換が等しい場合、逆ラプラス変換を適用すれば、f(t) = g(t)が得られます。
この結論は、ラプラス変換の唯一性に基づいています。ラプラス変換は、関数を一意に対応させるため、同じラプラス変換を持つ関数は同じ関数である必要があります。
4. 証明のステップ
証明を進めるためには、次のステップを踏みます。
- ラプラス変換が等しいという前提を確認
- ラプラス逆変換を使って元の関数に戻す
- 関数が一致することを結論として導く
まず、ラプラス変換が等しい場合、逆変換を適用しても同じ関数f(t)とg(t)を得ることができます。したがって、f(t)とg(t)は一致することが証明できます。
5. まとめ
この記事では、任意の複素数sに対して定積分が等しい場合に、f(t)とg(t)が等しいことを証明しました。ラプラス変換の唯一性を活用し、定積分の等式が示す意味を深く理解することで、この問題を解決しました。
この証明方法は、ラプラス変換を学ぶ際にも非常に重要な基礎となるため、しっかりと理解しておくことをお勧めします。
コメント