等比数列で初めて100を超える項数の求め方

等比数列は、初項と公比を使って項を計算する数学の基本的な概念です。この問題では、初項が1で公比が3の等比数列において、初めて100を超える項数を求める方法について解説します。

等比数列の一般項の公式

等比数列の一般項は、以下の式で表されます。

a_n = a_1 × r^(n-1)

ここで、a_nはn番目の項、a_1は初項、rは公比、nは項数です。この公式を使って、数列の各項を求めることができます。

今回の問題では、初項a_1 = 1、公比r = 3の等比数列です。この数列の一般項を求めると、次のようになります。

a_n = 1 × 3^(n-1) = 3^(n-1)

この式を使って、初めて100を超える項数を求めます。

100を超える項を求めるためには、3^(n-1) > 100となるnの値を求めます。

まず、両辺の対数を取ると、次のように計算できます。

log(3^(n-1)) > log(100)

(n-1) × log(3) > log(100)

n – 1 > log(100) / log(3)

log(100) ≈ 2、log(3) ≈ 0.4771なので、計算すると

n – 1 > 2 / 0.4771 ≈ 4.194

よって、n > 5.194となります。nは整数なので、n = 6が最初に100を超える項数です。

したがって、初項1、公比3の等比数列で初めて100を超える項数は、項数n = 6となります。

このように、等比数列の一般項を使って、特定の条件を満たす項数を求めることができます。問題を解く際には、式を使った計算と対数を活用する方法が非常に効果的です。