この質問では、論理式「x = AB(Ａ＋Bバー) = AAB + AABバー = AB」がなぜ成り立つのかについて詳しく解説します。この式は、論理演算における簡略化を示しており、特に論理代数の基本的な法則を使って式を変形していく過程を理解することが重要です。
論理代数の基本的な法則
まず、論理代数の基本的な法則を復習しましょう。論理演算では、以下の法則が重要です。
- 分配法則: A(B + C) = AB + AC
- 結合法則: (AB)C = A(BC)
- ド・モルガンの法則: (A + B)’ = A’B’
これらの法則を使用することで、複雑な論理式を簡単に扱えるようになります。
式の展開と簡略化のステップ
次に、与えられた式「AB(Ａ＋Bバー)」を展開してみましょう。まず、分配法則を使って式を展開します。
AB(Ａ＋Bバー) = AB × A + AB × Bバー
この時点で、式は「AAB + ABBバー」となります。
次に、AABという項を簡略化します。AABはAとAが掛け算されているため、A × A = Aなので、AABは単純に「AB」となります。同様に、ABBバーもA × B × Bバーという形になりますが、BとBバーは論理演算で必ず0を返すため、ABBバーは「0」になります。
これを式に代入すると、次のようになります。
AAB + ABBバー = AB + 0 = AB
なぜこのような簡略化が可能なのか？
この式の簡略化は、論理演算における基本的な性質に基づいています。具体的には、以下のような論理的な理由があります。
- 冗長性の排除: 論理積（AND）の演算において、A × A は A に等しいため、AAB のような形は AB に簡略化できます。
- ゼロの扱い: B × B’（BとBバーの論理積）は常に0になるため、ABBバーは消去できます。
まとめと応用例
このように、論理式の簡略化は論理代数の法則を用いて行うことができます。具体的には、分配法則、結合法則、冗長性排除、ゼロの扱いを駆使することで、複雑な論理式をシンプルにすることが可能です。今回の例では「AB(Ａ＋Bバー)」が「AB」に簡略化されましたが、他の論理式でも同様の法則を適用して簡略化を行うことができます。
コメント