三角関数の最大値を求める問題は、数学の中でも重要なテクニックの一つです。今回は、式「2sin2θ + 2cos2θ + 3」の最大値を求める方法と、θの値を求めるプロセスを詳しく解説します。
問題の式の整理
与えられた式は「2sin2θ + 2cos2θ + 3」です。まずは、これを整理して最大値を求める方法を見ていきます。
式の中に含まれるsin2θとcos2θは、二重角の三角関数です。これらの項を組み合わせて簡単に計算できる形にすることが求められます。
二重角の公式を使って整理する
まず、sin2θとcos2θをそれぞれ二重角の公式を使って表します。二重角の公式は以下の通りです。
- sin2θ = 2sinθcosθ
- cos2θ = cos²θ – sin²θ
これらの公式を使って式を変換することで、より簡単に最大値を求めることができます。
式の最大値を求める方法
次に、この式の最大値を求めるために、特定の技法を用いて計算します。まず、最も単純な方法として、式を最適化するために必要な条件を導出します。
2sin2θ + 2cos2θの項は、最大値を取るときにsinとcosの値が特定の関係にあることがわかります。例えば、sinとcosがともに最大となるとき、式全体が最大値を取ることが確認できます。
θの値を求める方法
最大値を取るθの値を求めるために、θがどの位置でsin2θ + cos2θが最大になるかを考えます。これにより、式全体の最大値が得られるθの値が導かれます。
特に、この問題ではsinとcosが互いに相補的である点に注目し、角度の関係性を利用して解答を導くことができます。
まとめ
式「2sin2θ + 2cos2θ + 3」の最大値を求めるためには、まず二重角の公式を使って式を整理し、sinとcosの関係性を利用することが重要です。最終的に、θの値を特定して最大値を得ることができ、計算が完了します。三角関数の性質を理解し、最大値を求めるためのテクニックを身につけることは、数学の問題解決において非常に有用です。
コメント