フーリエ級数展開は、周期関数を三角関数の和として表現する数学的手法です。これにより、関数をより簡単に扱ったり、解析したりすることができます。今回は、いくつかの関数のフーリエ級数展開について詳しく解説します。
1. 関数f(x) = sin(x)のフーリエ級数展開
まず、関数f(x) = sin(x)のフーリエ級数を(-π, π)の区間で展開します。フーリエ級数展開は、次の式を用いて求めます。
f(x) = a₀ + Σ[aₙ * cos(nx) + bₙ * sin(nx)]
ここで、a₀、aₙ、bₙはフーリエ係数で、次の式で計算します。
a₀ = (1/π) * ∫[-π, π] f(x) dx
aₙ = (1/π) * ∫[-π, π] f(x) * cos(nx) dx
bₙ = (1/π) * ∫[-π, π] f(x) * sin(nx) dx
このようにして、sin(x)のフーリエ級数を求めることができます。
2. 関数f(x) = xのフーリエ級数展開
次に、関数f(x) = xのフーリエ級数展開を(-π, π)の区間で行います。関数f(x) = xは奇関数であるため、フーリエ級数のaₙ（コサイン項）は0となります。
よって、bₙは次の式で求められます。
bₙ = (2/π) * ∫[0, π] x * sin(nx) dx
これを積分していくことで、xのフーリエ級数を得ることができます。
3. 関数f(x) = 1 (−π < x < 0), −1 (0 < x < π)のフーリエ級数
次に、関数f(x) = 1 (−π < x < 0), −1 (0 < x < π)のフーリエ級数を求めます。この関数は偶関数であるため、フーリエ級数のbₙ（サイン項）は0となり、aₙ（コサイン項）を求めることになります。
aₙ = (1/π) * ∫[-π, π] f(x) * cos(nx) dx
これを積分していくことで、f(x)のフーリエ級数を得ることができます。
4. 関数f(x) = |sin(x)|のフーリエ級数展開
最後に、関数f(x) = |sin(x)|のフーリエ級数を求めます。この関数は周期的であり、絶対値が含まれていますが、偶関数であるため、フーリエ級数のbₙ（サイン項）は0となり、aₙ（コサイン項）を計算することになります。
aₙ = (2/π) * ∫[0, π] |sin(x)| * cos(nx) dx
これを積分することで、f(x) = |sin(x)|のフーリエ級数展開を得ることができます。
まとめ
フーリエ級数展開を使うことで、複雑な周期関数を三角関数の和として表現することができます。上記で示したように、さまざまな関数のフーリエ級数を求める方法を理解することで、数学的な解析をより深く行うことが可能です。
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