複素数因数分解と解の公式: 3(x-α)(x-β) の意味と理解

複素数の因数分解において、特に二次方程式の因数分解に関しては解の公式を用いて解を導き出し、その解を使って因数分解を行います。問題にある「3(x-α)(x-β)」の形について、なぜα、βが解の公式によって求められるのか、またその際にどのように3が関わるのかについて詳しく解説します。

複素数因数分解の基本

複素数因数分解とは、複雑な数式を複数の因子に分ける作業です。二次方程式の因数分解は、基本的に解の公式を使用して解を求め、それを用いて因数分解を行います。

例えば、二次方程式 3x² – 4x + 3 を因数分解する場合、まず解の公式を使って解を求めます。解の公式は、次のように表されます。

x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a

ここで、a、b、c は二次方程式の係数です。この公式を使って解を求めた後、その解を用いて因数分解を行います。

問題の二次方程式 3x² – 4x + 3 において、a = 3、b = -4、c = 3 です。この式を解の公式に代入すると、次のようになります。

x = (4 ± √((-4)² – 4 × 3 × 3)) / (2 × 3)

計算すると、x = (4 ± √(16 – 36)) / 6 となり、x = (4 ± √(-20)) / 6 となります。ここで、√(-20) は虚数であるため、解は複素数となります。

x = (4 ± 2i√5) / 6 と計算でき、最終的に解は x = 2/3 ± i√5/3 となります。

解の公式から得られた解を用いて、因数分解を行います。因数分解の形は次のようになります。

3(x – α)(x – β)

ここで、α と β はそれぞれ解の公式で求めた解に対応します。具体的に言うと、α = 2/3 + i√5/3、β = 2/3 – i√5/3 です。

したがって、因数分解の形は 3(x – (2/3 + i√5/3))(x – (2/3 – i√5/3)) となります。このように、解の公式を使用して得られた解を因数分解に使うことができます。

ここで重要なのは、なぜ式に3が含まれているかという点です。元の式 3x² – 4x + 3 では、最初に3が因数として存在しています。この3を因数分解に反映させるためには、解の公式を使って求めた解をそのまま用いるのではなく、最初の式に合わせて解を調整する必要があります。

例えば、式の最初に3が含まれている場合、その解は解の公式を使って求めた解に3で割った値が対応します。したがって、求めた解に対して3で調整することが必要です。

複素数因数分解において、解の公式を使って得られた解は、元の式の係数を考慮して調整する必要があります。特に、元の式に3のような定数が含まれている場合、その影響を因数分解に反映させることが重要です。

また、解の公式により求めた解を用いて因数分解を行う際は、複素数の解が出る場合もあるため、計算を注意深く行う必要があります。これらのプロセスを理解することで、複素数因数分解の問題を効率的に解くことができます。