微分方程式 dz/dt = z + z³ の解法と部分分数分解の使い方

この問題では、微分方程式 dz/dt = z + z³ を解く過程で、部分分数分解をどのように使うかについて解説します。微分方程式の解法では、部分分数分解は特に積分を行う際に重要な役割を果たします。ここではその手順を具体的に説明します。

1. 微分方程式の整理

まず、与えられた微分方程式 dz/dt = z + z³ を整理します。この式を積分するためには、右辺を適切に分解する必要があります。

式を整理すると次のようになります。

dz/dt = z(1 + z²)

次に、この式を積分可能な形にするために、部分分数分解を使う方法について見ていきます。

右辺の z(1 + z²) を分数分解の形にするためには、積分可能な形式にする必要があります。部分分数分解では、通常、複雑な項をより単純な項に分けて積分します。

今回は、z(1 + z²) という形の項に対して部分分数分解を適用します。まず、z(1 + z²) は次のように分解されます。

1 / (1 + z²) = A / (1 + z²) + B / z

ここで、A と B を求めるために分母を一致させることが必要です。通常は、両辺を通分し、係数を比較して A と B を求めます。

部分分数分解後は、得られた各項を積分します。積分結果は次のようになります。

∫1 / (1 + z²) dz = arctan(z)

このように、部分分数分解を使うことで複雑な項が積分可能な形に変形され、解を求めることができます。

この問題では、微分方程式 dz/dt = z + z³ の解法を通じて部分分数分解をどのように適用するかについて学びました。部分分数分解は、積分を簡単にするための強力なツールです。微分方程式を解く際にこのテクニックを使うことで、難解な式も簡単に処理することができます。