因数分解の方法：4つの式の詳細な解説

因数分解は数学の基本的なスキルであり、特に多項式の因数分解を理解することは重要です。この記事では、以下の4つの式の因数分解方法を順を追って解説します。

① (ac + bd)² – (ad + bc)² の因数分解

この式は、2項の差の2乗の形に見えます。まずは、差の2乗の公式を適用します。差の2乗の公式は、(x² – y²) = (x – y)(x + y)です。この公式を使って、次のように分解できます。

(ac + bd)² - (ad + bc)² = [(ac + bd) - (ad + bc)] * [(ac + bd) + (ad + bc)]

これを展開すると、最終的に以下のように因数分解できます。

(ac - ad + bd - bc)(ac + ad + bd + bc)

これが因数分解の最終形です。

この式は、まず共通因数を見つけて分けてみましょう。最初にxとyに関する項をグループ化して整理します。

x³ - 2x²y + xy - 2y² = x²(x - 2y) + y(x - 2y)

ここで、(x – 2y)が共通因数として現れるので、この部分を外に出すことができます。

(x - 2y)(x² + y)

これが因数分解された形です。

この式は、まずxとaに関する項を整理してグループ化しましょう。

2x² + 8ax + 6a² - x + a - 1 = 2x² - x + 8ax + 6a² + a - 1

ここで、xとaの項をそれぞれまとめてみます。

(2x² - x) + (8ax + 6a²) + (a - 1)

次に、それぞれの部分を因数分解します。

x(2x - 1) + 2a(4x + 3a) + (a - 1)

この式は因数分解の形にはなりませんが、グループごとに項を整理することで、次のステップに進む準備ができます。

まず、この式を展開してみます。

(a + b + c)(ab + bc + ca) = a²b + a²c + ab² + b²c + ac² + bc²

これを元の式に戻すと。

a²b + a²c + ab² + b²c + ac² + bc² - abc

ここで、項をグループ化してみましょう。

(a²b - abc) + (a²c - abc) + (ab² - abc) + (b²c - abc) + (ac² - abc) + (bc² - abc)

この式は完全に因数分解するのは難しいですが、式の理解を深めるためには、このように項を整理して計算を進めていくことが大切です。

今回紹介した4つの因数分解の問題を通じて、因数分解の基本的な手順を学びました。因数分解を効率よく行うためには、まずは式の中で共通因数を見つけることが大切です。また、差の2乗や合成の公式を適用することで、計算を簡単にすることができます。

数学の因数分解は練習すればするほど理解が深まり、さらに複雑な問題にも対応できるようになります。これらの基本的な解法をしっかりと習得しましょう。