合成関数の微分は、数学の中でも難易度が高く感じることがあるトピックです。今回は、少し難しめの合成関数の微分問題を2題作成し、それぞれの解答を詳しく解説します。これらの問題を通じて、合成関数の微分に慣れることができるでしょう。
問題1：合成関数の微分
次の合成関数の微分を求めなさい。
f(x) = (3x^2 + 2x + 1)^(4) を微分せよ。
この問題では、合成関数の微分の基本である連鎖律を用います。連鎖律による微分の手順を使って解いていきます。
解法1
まず、合成関数 f(x) = (3x^2 + 2x + 1)^4 の微分を行います。ここで、g(x) = 3x^2 + 2x + 1 とし、h(x) = x^4 とおきます。連鎖律を使用すると、次のように進めます。
f'(x) = 4(3x^2 + 2x + 1)^3 × (6x + 2)
したがって、最終的な微分結果は。
f'(x) = 4(3x^2 + 2x + 1)^3 × (6x + 2)
問題2：合成関数の微分
次の合成関数の微分を求めなさい。
g(x) = sin(2x^2 + 3x) を微分せよ。
この問題でも、連鎖律を使用して解いていきます。
解法2
g(x) = sin(2x^2 + 3x) の微分を行います。連鎖律を使用するため、内側の関数を u = 2x^2 + 3x と置きます。すると、g(x)は sin(u) と考えられ、微分を行うと次のようになります。
g'(x) = cos(2x^2 + 3x) × (4x + 3)
したがって、最終的な微分結果は。
g'(x) = cos(2x^2 + 3x) × (4x + 3)
まとめ
今回の問題では、合成関数の微分を連鎖律を用いて解きました。問題1では (3x^2 + 2x + 1)^4 の微分を求め、問題2では sin(2x^2 + 3x) の微分を求めました。どちらも連鎖律を使うことで簡単に解けます。
合成関数の微分においては、内側の関数と外側の関数の微分を適切に組み合わせることが大切です。連鎖律をしっかりと理解しておくと、このような問題をスムーズに解けるようになります。
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