数列の極限の性質とその応用についての解説

数Ⅲの極限の性質について、特に数列の極限に関する疑問を解決するための記事です。教科書に記載されている「数列の極限の性質 lim an = α, lim bn = βとするすべてのnについて an ≦ bnならば α ≦ β」という式に関する疑問について、具体的な例とともに解説します。

数列の極限の性質とは？

数列の極限に関する基本的な性質として、「もし、数列anとbnがそれぞれαとβに収束し、すべてのnに対してan ≦ bnが成り立つならば、lim an ≦ lim bn となる」と示されています。この性質は、数列の収束に関して、順序が保たれることを意味しています。

例えば、an = 1 – (1/n) と bn = 1 + (1/n) の場合、n → ∞ のとき、lim an = lim bn = 1 となります。ここで、an < bn であり、最終的な極限も同じ 1 となります。

次に、「an < bn の場合に極限が < になる数列」について考えます。基本的に、an < bn の場合、an と bn は異なる極限に収束することがありますが、極限が < になる例もあります。

例えば、an = 1 – (1/n^2) と bn = 1 + (1/n^2) のように、両者の差が非常に小さくなりますが、an と bn の極限は異なります。ここで、an と bn が異なる極限に収束するとき、an の極限は 1 で、bn の極限も 1 でありながら、異なる形で収束します。

「an < bn ならば α < β」という命題が成り立つかどうかについて考えます。この命題は一般には成り立ちません。つまり、an < bn が成り立っていても、必ずしもその極限が α < β となるわけではありません。

理由として、極限の計算においては、an と bn がそれぞれ異なる収束点に向かっている場合もあり、特にan と bn の収束速度が異なる場合には、極限が一致することがあります。したがって、an < bn であっても、lim an = lim bn となることもあります。

例えば、an = 1/(n+1) と bn = 1/n の場合、an と bn はそれぞれ 0 に収束しますが、an < bn であっても、その極限は等しい 0 となります。

一方、an = 1/n と bn = 1/n^2 の場合、an は 0 に収束し、bn も 0 に収束しますが、収束の速さが異なります。このように、収束速度や収束先が異なる場合において、極限が一致することもあります。

数列の極限に関する性質は、数学における非常に基本的な概念です。「an ≦ bn ならば α ≦ β」という性質を理解することで、数列の挙動を予測し、収束の速さや違いについて深く理解することができます。

「an < bn ならば α < β」が必ずしも成り立たないことを理解することも、極限の性質を適切に扱う上で重要です。数列の極限を扱う問題では、収束の性質をしっかりと理解することが、解法を進める上で欠かせないポイントとなります。