直線のなす角θを求める方法とその解説

数学

2025.04.22

数学の問題で直線のなす角θを求める際に、特に混乱しやすい部分が「tanθ=tan(β-α)=1」となり、その後の解釈が難しいと感じることがあります。この記事では、2直線のなす角θを求めるための手順を詳細に解説し、「ゆえにθ=π/4」となる理由をわかりやすく説明します。

問題の設定と解法の流れ

与えられた2直線の式は以下の通りです。

これらの直線がなす角θを求めるためには、まず各直線の傾きを求め、次に傾きの差を使って角度を計算します。

直線の傾きは、一般的に直線の方程式がy = mx + bの形になったときのm（傾き）として求めます。与えられた直線の方程式をそれぞれyについて解き、傾きを求めます。

まず、x – 2y + 4 = 0をyについて解くと、以下のようになります。

2y = x + 4 → y = 1/2 * x + 2

この直線の傾きは1/2です。

次に、3x – y – 3 = 0をyについて解くと、以下のようになります。

y = 3x – 3

この直線の傾きは3です。

直線がなす角θは、2つの直線の傾きm₁, m₂を使って以下の式で求められます。

tan(θ) = |(m₂ – m₁) / (1 + m₁ * m₂)|

ここで、m₁ = 1/2、m₂ = 3を代入して計算します。

tan(θ) = |(3 – 1/2) / (1 + (1/2) * 3)| = |(5/2) / (5/2)| = 1

したがって、tan(θ) = 1となります。

tan(θ) = 1のとき、θはπ/4（45度）であることがわかります。これは、tan(π/4) = 1であるためです。

式tan(θ) = 1から、θがどの角度であるかを求める際には、0 < θ < π/2という条件を考慮することが重要です。つまり、θは第一象限内の角度であり、tan(θ) = 1のとき、θ = π/4という結論になります。

直線のなす角θを求めるためには、まず直線の傾きを求め、その後、傾きの差を使って角度を計算します。問題文における「tan(β – α) = 1」という式は、実際にθ = π/4となる理由を示しており、tan(θ) = 1の条件下で角度がπ/4に対応することがわかります。

この問題を解くことで、直線のなす角を求める基本的な手順を理解することができ、今後の数学の問題にも応用することができます。