この問題では、整式P(x)が(x+1)²で割り切れ、x-2で割ると1余るという条件をもとに、P(x)を(x-2)(x+1)²で割った余りを求める問題です。解法の中で、余りRをa(x+1)²と置いた理由について疑問が生じたとのことですが、これには特定の数学的背景があります。この問題を解決するために、余りの形や制約条件に着目して、なぜRがa(x+1)²となるのかを解説します。
余りの一般的な形について
整式P(x)を(x-2)(x+1)²で割ったときの余りは、余り定理に基づいて求めることができます。一般に、n次の多項式をm次の多項式で割った場合、余りの次数はm-1以下となります。今回の問題では、(x-2)(x+1)²が割る多項式なので、余りの次数は1以下である必要があります。
つまり、余りR(x)は(x-2)(x+1)²で割ったときの余りであるため、xの1次式または定数式の形をとります。しかし、問題の条件からこの余りの形をさらに制限することができます。
問題の条件を分析する
問題文では、「P(x)が(x+1)²で割り切れる」との条件があります。これにより、P(x)の余りが(x+1)²で割り切れる必要があることがわかります。つまり、余りR(x)は(x+1)²の倍数であることが求められます。
したがって、R(x)の形はa(x+1)²のように、(x+1)²が含まれる形であることが適切です。このように、余りの形をa(x+1)²と置くことで、条件を満たす解を得ることができます。
余りをa(x+1)²と置く理由
余りR(x)をa(x+1)²と置く理由は、(x+1)²で割り切れるという条件に基づいています。余りの次数が1以下であるべきという条件を満たしつつ、余りが(x+1)²で割り切れることを確実にするためには、この形が最も適切です。
また、P(x)が(x+1)²で割り切れるということは、P(x)を(x+1)²で割ったときに余りが0になることを意味しています。この情報を活用して、余りをa(x+1)²と置くことで、問題が与える条件を満たす解を得ることができます。
解法の進め方とaの値を求める
次に、具体的にaの値を求めていきます。問題に与えられた条件から、P(x)がx=2のときに1余るという情報があります。これを使って、aの値を求めるために、P(2)の値を計算します。
P(2)を計算する際、P(x) = Q(x)(x-2)(x+1)² + a(x+1)² の形で式を立てて、x=2を代入します。すると、aの値が求められます。
まとめ
今回の問題では、P(x)を(x-2)(x+1)²で割った余りがa(x+1)²の形になる理由について解説しました。余りが(x+1)²で割り切れるという条件に基づき、余りをa(x+1)²と置くことが適切であることがわかりました。この方法を使うことで、問題を解く際に重要な数学的背景を理解しながら、余りを求めることができます。
また、具体的な計算に進むことで、最終的な解を求めることができました。数学の問題を解く際には、与えられた条件をどのように活用するかが非常に重要です。
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