展開式における係数の求め方【(2X+1)⁵ の X⁴ の項】

展開式の問題では、特定の項の係数を求めることがよくあります。今回は、(2X+1)⁵ の展開式から、X⁴ の項の係数を求める問題を解説します。

展開式の基本的な考え方

展開式を求める際には、二項定理を利用します。二項定理は、(a + b)^n の形の式を展開するための公式です。一般的に、(a + b)^n の展開式は次のように表されます。

(a + b)^n = Σ (nCr) * a^(n-r) * b^r

ここで、nCr は組合せの公式で、a と b はそれぞれの項、r は項数を示します。この公式を用いて、特定の項の係数を求めることができます。

問題は、(2X + 1)⁵ の X⁴ の項の係数を求めるものです。この場合、a = 2X、b = 1 となります。そして、n = 5 です。

この式を展開する際、X⁴ の項が必要ですので、a^(n-r) の部分が X⁴ となるように r を決める必要があります。X の次数が 4 になるため、(2X) の 4乗を含む項を選びます。

展開式で X⁴ の項を求めるには、(2X) の 4乗に対応する r を選びます。これに対応する項は、次のように計算されます。

n = 5 なので、r = 4 とすると、X の 4乗が得られます。したがって、(2X)^(5-4) * 1^4 の項を求めることになります。

これを計算すると。

(2X)^1 * 1^4 = 2X

次に、r = 4 の場合の組合せの値を求めます。nCr = 5C4 で、これは 5 です。

したがって、X⁴ の項の係数は、次のように求められます。

5 * 2 = 10

(2X + 1)⁵ の展開式から X⁴ の項の係数を求める問題では、二項定理を使って計算することができます。X⁴ の項は 10 という係数を持つことがわかりました。こうした計算方法をマスターすると、複雑な展開式でも係数を素早く求めることができるようになります。