放物線y = x^2 - 3x - 2kがx軸から切り取る線分の長さが5の時の定数kの値の求め方

放物線の方程式が与えられた場合、x軸と交わる点を求め、その長さを利用して定数を求める問題は典型的な問題です。今回は、放物線y = x^2 – 3x – 2kがx軸と切り取る線分の長さが5である場合の定数kの値を求める方法を解説します。

1. 問題の確認

まず、放物線の方程式がy = x^2 – 3x – 2kです。この放物線がx軸と交わる点を求めるには、y = 0とおきます。

したがって、0 = x^2 – 3x – 2kとなります。これが放物線のx軸との交点を求めるための方程式です。この方程式の解を求めることで、x軸と交わる点を求めます。

まず、x^2 – 3x – 2k = 0を解くために解の公式を使います。解の公式は以下のようになります。

x = (-b ± √(b^2 – 4ac)) / 2a

ここで、a = 1, b = -3, c = -2kなので、解の公式に代入すると。

x = (3 ± √((-3)^2 – 4(1)(-2k))) / (2(1))

x = (3 ± √(9 + 8k)) / 2

x軸との交点の長さは、この2つの解の差です。したがって、交点の距離は次のように求められます。

交点の長さ = |x2 – x1| = |(3 + √(9 + 8k)) / 2 – (3 – √(9 + 8k)) / 2|

この式を簡単にすると。

交点の長さ = |√(9 + 8k)|

問題文で交点の長さが5であることがわかっているので、次のように設定します。

√(9 + 8k) = 5

次に、この式を解いてkの値を求めます。まず、両辺を2乗します。

9 + 8k = 25

次に、両辺から9を引きます。

8k = 16

最後に、kを求めるために8で割ります。

k = 2

この問題では、放物線のx軸との交点の長さを求めることで、定数kの値を求める方法を解説しました。最終的に、k = 2という値が得られました。

このような問題は、放物線の交点を求め、さらにその長さを利用して定数を求めるという基本的な手法を応用しています。数式を使って問題を解く際には、解の公式や方程式の操作を適切に行うことが重要です。