この問題は、無限大に向かう極限の計算と、組み合わせ数（C_{n}）を利用した解析を含んでいます。式が示す意味やその計算方法を理解するためには、組み合わせ数とその性質、無限大の極限を使った計算を順を追って学ぶ必要があります。この記事では、この問題をどのように解くのか、具体的な手順を解説していきます。
問題の式の理解
まず、問題に出てくる式をしっかりと理解しましょう。式は次のように表されています。
lim n -> ∞ ((3n * C_{n}) / (2n * C_{n})) ^ (1/n)
ここで、C_{n}は組み合わせ数を意味し、組み合わせ数C_{n}は「n個のものからk個を選ぶ方法」の数を示します。具体的には、C_{n} = n! / (k!(n-k)!)という形になります。この式では、組み合わせ数の性質と、無限大に対する極限操作を組み合わせて計算を行います。
式の簡略化
次に、式を簡略化していきます。まず、分子と分母に含まれるC_{n}を見てみましょう。組み合わせ数C_{n}は、特定のnに対する定数ですので、同じC_{n}が分子と分母に含まれている場合、これらは相殺されます。
したがって、式は次のように簡略化できます。
lim n -> ∞ ((3n) / (2n)) ^ (1/n)
ここで、3nと2nの比は単純に3/2になります。よって、式は次のようになります。
lim n -> ∞ (3/2) ^ (1/n)
極限の計算
ここで、極限を計算します。lim n -> ∞ (3/2) ^ (1/n)という式は、無限大に対して1/n乗を取るという形です。この形では、任意の定数aに対して、a^(1/n)の極限は1に収束します。つまり、次のように計算できます。
lim n -> ∞ (3/2) ^ (1/n) = 1
したがって、この式の極限は1に収束することがわかります。
まとめと解答
この問題の解法をまとめると、最初の式は組み合わせ数C_{n}を含んでいますが、それらが分子と分母で相殺されるため、最終的に残ったのは(3/2)の1/n乗です。この式の極限は1に収束するため、答えは次のようになります。
lim n -> ∞ ((3n * C_{n}) / (2n * C_{n})) ^ (1/n) = 1
したがって、問題の答えは1です。これを理解するためには、組み合わせ数の基本的な性質と、無限大における極限の計算方法をしっかりと把握することが重要です。
コメント