正の整数nに関する方程式n³ – n = n!の解法

正の整数nに関する方程式「n³ – n = n!」は、数式を解く上で興味深い問題です。この方程式を解くためには、まずは式を展開し、どのような値のnが成り立つかを考える必要があります。この記事では、方程式を解く手順を詳しく解説します。

方程式の設定と整理

与えられた方程式は「n³ – n = n!」です。まず、右辺のn!（nの階乗）を確認しましょう。n!は、1からnまでのすべての整数を掛け合わせたものです。例えば、n = 3のとき、n!は3! = 3 × 2 × 1 = 6となります。

これを踏まえて、方程式を整理すると次のようになります：n³ – n = n!。この方程式を解くために、nの具体的な値を代入していきます。

代入して試してみる

方程式を解くために、いくつかの整数値をnに代入してみましょう。

• n = 1の場合: 1³ – 1 = 1! → 1 – 1 = 1 → 0 ≠ 1
• n = 2の場合: 2³ – 2 = 2! → 8 – 2 = 2 → 6 ≠ 2
• n = 3の場合: 3³ – 3 = 3! → 27 – 3 = 6 → 24 ≠ 6
• n = 4の場合: 4³ – 4 = 4! → 64 – 4 = 24 → 60 ≠ 24
• n = 5の場合: 5³ – 5 = 5! → 125 – 5 = 120 → 120 = 120

n = 5のとき、方程式が成り立つことがわかります。つまり、n = 5が解となります。

解がn = 5である理由

n = 5の場合、n³ – n = n!が成立することが確認できました。これをさらに検証するために、n > 5の場合の解を調べてみます。nが大きくなると、n!は急激に増加するため、n³ – nがn!に追いつくことはありません。

例えば、n = 6の場合を見てみましょう。6³ – 6 = 216 – 6 = 210ですが、6! = 720であり、明らかに差があります。このように、nが5を超えると、n³ – nの値はn!より小さくなり、方程式が成り立たなくなります。

まとめ

「n³ – n = n!」の方程式を解くと、解はn = 5であることがわかりました。それ以外の整数値では、この方程式は成立しません。この問題は、計算を代入して試すことで解決できることが示されました。数学的な直感を使い、具体的な値を代入していくことが、方程式を解く鍵となります。