文字式を使った数学の問題の解き方 – 6で割った余りが2の自然数と9で割った余りが4の自然数の和が3の倍数になる理由

数学の問題を解く際に「文字式」を使う方法は非常に便利です。特に、自然数の余りに関する問題では、文字式を用いることで問題が格段に解きやすくなります。この記事では、6で割った余りが2の自然数と、9で割った余りが4の自然数の和が3の倍数になる理由を、文字式を使って説明します。

文字式とは？

文字式は、数式の中で数を表すために使う記号（文字）を使った式です。例えば、偶数を2n、奇数を2n+1、2桁の自然数を10a+bなどと表す方法です。これにより、具体的な数値がわからなくても、一般的な形で問題を扱うことができます。

この問題のように、特定の条件を満たす数を文字式で表すことで、問題が解きやすくなります。

まず、6で割った余りが2になる自然数について考えます。6で割った余りが2である数は、6m+2という形で表すことができます。ここで、mは任意の整数です。例えば、m=1の場合は6×1+2=8、m=2の場合は6×2+2=14というふうに、6の倍数に2を足した形になります。

このように、6で割った余りが2になる自然数は、6m+2の形で表せることがわかります。

次に、9で割った余りが4になる自然数を考えます。この場合も同じように、9n+4という形で表すことができます。ここで、nは任意の整数です。例えば、n=1の場合は9×1+4=13、n=2の場合は9×2+4=22となります。

このように、9で割った余りが4になる自然数は、9n+4という形で表すことができます。

問題のポイントは、「6で割った余りが2になる自然数」と「9で割った余りが4になる自然数」の和が3の倍数になることです。この和を計算してみましょう。

6m+2 と 9n+4 の和は、(6m+2) + (9n+4) = 6m + 9n + 6 となります。これを整理すると、6(m + n + 1) という形になります。

6(m + n + 1) は、明らかに6の倍数です。そして、6は3の倍数でもあるため、この式は3の倍数であることがわかります。

文字式を使う際に、文字を同じにする場合と変える場合の違いは、問題を解く目的に合わせて変えることができる点です。例えば、この問題では6m+2と9n+4というように、異なる文字を使ってそれぞれの条件を表現しましたが、同じ文字を使っても解くことは可能です。

文字を同じにする場合、計算の際に一貫性が保たれるため、整理しやすくなりますが、異なる文字を使うことで、異なる条件を区別して計算することができるので、柔軟に使い分けることが大切です。

この問題では、文字式を使うことで、6で割った余りが2になる自然数と9で割った余りが4になる自然数の和が3の倍数になることを簡単に証明することができました。文字式を使うことで、数の具体的な値に依存せずに一般的な形で問題を解くことができ、数学的な理解が深まります。

文字式を使う際には、目的に応じて文字を同じにするか変えるかを選びながら、問題に取り組むと良いでしょう。