lim[x->∞](1+1/x)^x = e の証明と数列から関数への変換

本記事では、lim[x->∞](1+1/x)^x = e の証明に関して、数列から関数に変換する過程を解説します。特に、数列と関数がどのように関連し、なぜn ≦ x < n + 1となる自然数nを選べるのかについて詳しく説明します。

lim[x->∞](1+1/x)^x の証明

まず、lim[x->∞](1+1/x)^x = e を証明するためには、数列のリミットを使う方法が非常に効果的です。この式は、数学的に e の定義に基づいており、n に関する数列の極限を考えることから始まります。

数列において、lim[n->∞](1+1/n)^n = e という式が成立します。これを理解するために、まずnが無限大に近づく際の挙動を考え、次にxを実数として数列に対応させていきます。

問題文で触れられている「n≦x

これは、xが自然数でない場合でも、整数nを適用して近似する方法として非常に有効です。したがって、xをnで近似し、数列の極限と関数の挙動が一致することを利用します。

直感的に理解するために、xが非常に大きくなると、(1 + 1/x) のx乗は、e に限りなく近づきます。この現象は、数列においても同様に確認でき、無限大に近づくnに対して(1+1/n)^nがeに収束することを示すものです。

実際に数値を計算してみると、xが大きくなるにつれて(1 + 1/x)^x の値がeに収束することが分かります。このような性質は、微積分学における指数関数の特性とも関係しています。

lim[x->∞](1+1/x)^x = e の証明は、数列のリミットと関数の挙動の理解を組み合わせることで行うことができます。n ≦ x < n + 1 という条件を用いることで、実数xに対しても整数nを選ぶことができ、数列の極限と連続関数の挙動を比較することが可能となります。

このような数学的なアプローチを用いることで、eの定義をより深く理解し、数列と関数の関係を明確に把握することができます。