集合の演算問題：n(A* ∩ B*)の求め方を解説

高校数学の集合に関する問題で、部分集合A、Bの演算を求めることがあります。このような問題では、集合の補集合や交差を扱うことが求められます。この記事では、n(A* ∩ B*)の求め方について、具体的な例とともに解説します。

問題の整理と条件の確認

まず、問題文に与えられた情報を整理しましょう。集合U（全体集合）に関する情報として、次のような条件があります。

• n(U) = 40（全体集合の要素数）
• n(A) = 18（集合Aの要素数）
• n(B) = 25（集合Bの要素数）
• n(A ∩ B) = 6（集合AとBの共通部分の要素数）

この情報をもとに、n(A* ∩ B*)を求める必要があります。ここで、A*はAの補集合、B*はBの補集合を意味します。

補集合の定義とn(A* ∩ B*)の求め方

補集合とは、ある集合の要素以外のすべての要素を含む集合です。例えば、Aの補集合A*は、Uの中でAに含まれないすべての要素から成り立っています。同様に、Bの補集合B*もUの中でBに含まれない要素の集合です。

n(A* ∩ B*)は、AとBの両方に含まれない要素の数を意味します。これを求めるには、次のような式を使います。

n(A* ∩ B*) = n(U) - n(A ∪ B)

n(A ∪ B)は、AとBの和集合の要素数を表します。AとBの和集合の要素数は、次の式で求められます。

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)

与えられた情報を使って、この式に数値を代入して計算します。

n(A ∪ B)を求める

まず、n(A ∪ B)を求めるために、次の式を計算します。

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) = 18 + 25 - 6 = 37

したがって、AとBの和集合の要素数は37です。

n(A* ∩ B*)を求める

次に、n(A* ∩ B*)を求めます。上で説明した式に代入します。

n(A* ∩ B*) = n(U) - n(A ∪ B) = 40 - 37 = 3

したがって、n(A* ∩ B*)の値は3となります。

まとめ

この問題では、集合AとBの補集合の交差部分であるn(A* ∩ B*)を求める方法について解説しました。まず、与えられた情報を使ってAとBの和集合n(A ∪ B)を求め、その後、全体集合から和集合を引くことで、補集合の交差部分の要素数を計算しました。最終的な答えは、n(A* ∩ B*) = 3です。このような集合の演算を理解することで、数学の問題を効率的に解くことができます。