2次方程式の重解を求める方法と解の求め方

2次方程式において重解を求める問題は、数学の中でもよく見かけるタイプの問題です。質問者が示している方程式「x² – 2ax + a + 6 = 0」について、重解を持つ条件とその時の解を求める方法を詳しく解説します。

重解を持つための条件とは？

2次方程式が重解を持つための条件は、その判別式が0であることです。2次方程式「ax² + bx + c = 0」において、判別式Dは以下のように求められます。

D = b² – 4ac

重解が存在する場合、D = 0となります。したがって、今回の方程式で重解を持つためには、この判別式を0にする必要があります。

問題の方程式「x² – 2ax + a + 6 = 0」を標準形にすると、「x² + (-2a)x + (a+6) = 0」となります。ここで、係数a, b, cを確認します。

判別式Dは次のように求められます。

D = (-2a)² – 4(1)(a + 6) = 4a² – 4(a + 6)

この判別式が0である必要があるため、次のように式を展開します。

4a² – 4(a + 6) = 0

ここから、aに関する方程式を解くと、重解を持つための条件を求めることができます。

判別式が0となる条件を満たすaの値を求めた後、解の公式を使ってxの値を求めます。この場合、aの値がわかると、方程式は完全に解けます。

重解を持つとき、2次方程式の解は1つになります。解がどのように求められるか、またそのときの値について詳しく計算することで、問題を完全に解決できます。

質問者が述べているように、試行錯誤で値を当てはめる方法も一つのやり方ではありますが、効率的に解くためには、数学的な公式や条件を使って計算することが重要です。判別式を使うことで、より短時間で答えを得ることができます。

2次方程式の重解を求める際には、判別式が0である条件を使って解くことが基本です。試行錯誤ではなく、数学的な方法を使うことで効率よく問題を解決することができます。質問者が求めているように、重解を持つaの値を求め、その解を導くためには、この方法を使うことが重要です。