BとCが独立なら、Bの余事象とCも独立するか？確率論の基礎を解説

確率論における独立性の概念は非常に重要で、特に2つの事象が独立している場合、それらの間にどのような関係が成り立つのかを理解することが、問題を解く上で重要です。今回は「BとCが独立なら、Bの余事象とCは独立するのか？」という問いについて、確率論の基礎をもとに解説します。

確率論における独立性とは？

2つの事象BとCが独立しているとは、Bが起こるかどうかがCの発生に全く影響を与えないことを意味します。数学的には、BとCが独立している場合、次の条件が成り立ちます。

P(B ∩ C) = P(B) × P(C)

この式は、BとCが同時に起こる確率が、Bの確率とCの確率の積に等しいことを示しています。独立性は、この条件を満たす場合に成り立つといえます。

事象の余事象とは、ある事象が起こらない場合を指します。例えば、事象Bの余事象はBが起こらないとき、すなわち「Bが起こらない」ことを示します。この余事象に関しても、独立性が成り立つかを確認する必要があります。

ここでのポイントは、BとCが独立しているときに、Bの余事象とCが独立するかという点です。これについては、確率の計算を通じて説明できます。

事象BとCが独立であるならば、Bの余事象（B’）とCも独立していることを確認できます。これを数学的に証明するためには、次の条件を検証します。

P(B' ∩ C) = P(B') × P(C)

ここで、B’はBの余事象で、B’ ∩ CはBが起こらないかつCが起こる事象です。この式が成り立つ場合、Bの余事象とCは独立であるといえます。

実際に計算すると、次のようになります。

P(B' ∩ C) = P(C) - P(B ∩ C)

そして、もしP(B ∩ C) = P(B) × P(C)が成り立つならば、上記の式は次のようになります。

P(B' ∩ C) = P(C) - P(B) × P(C) = P(C) × (1 - P(B)) = P(B') × P(C)

したがって、Bの余事象とCは独立であることが証明されます。

例えば、サイコロを振って偶数が出る確率と奇数が出る確率は独立です。サイコロの出目に関する事象B（偶数が出る）とC（5以上の目が出る）が独立であれば、Bの余事象（奇数が出る）とCが独立しているかを確かめることができます。

偶数が出る確率は1/2、5以上の目が出る確率は1/3です。この場合、Bの余事象（奇数が出る）の確率も1/2です。もしBとCが独立なら、B’とCも独立であることが確かめられます。

BとCが独立ならば、Bの余事象とCも独立であるという命題は確率論における基本的な性質です。これを理解することで、複雑な確率の問題においても、事象間の独立性を正確に扱うことができます。数学的な証明を通じて、余事象と独立性の関係をしっかりと理解しておくことが重要です。