高校数学でよくある三角関数の問題を解く方法 - sinθ・cosθ = 5/8 の場合

高校数学では、三角関数を使った問題が頻出します。特に、三角関数の和や積に関する問題は基本的なものであり、解き方を理解しておくことが重要です。今回は、「sinθ・cosθ = 5/8」の場合に、|sinθ + cosθ|を求める方法について解説します。

問題の理解と三角関数の基本

まず、問題をよく理解しましょう。この問題では、三角関数の積であるsinθ・cosθが5/8と与えられています。これを利用して、|sinθ + cosθ|を求めるという問題です。三角関数に関する基本的な公式を使うことで、この問題を解くことができます。

sinθ・cosθの積を用いて式を立て、後にsinθ + cosθを求める方法を見ていきます。

三角関数には便利な恒等式があります。特に、sin²θ + cos²θ = 1という恒等式はよく使われます。これを使って式を変形することで、問題を解くヒントになります。

また、(sinθ + cosθ)²の展開を利用することで、sinθ・cosθに関する式を導き出せます。具体的には、次のような式を展開します。

(sinθ + cosθ)² = sin²θ + 2sinθ・cosθ + cos²θ です。

ここで、sin²θ + cos²θ = 1という恒等式を代入すると、式は次のようになります。

(sinθ + cosθ)² = 1 + 2sinθ・cosθ となります。

ここで、sinθ・cosθ = 5/8 という情報を代入します。

(sinθ + cosθ)² = 1 + 2(5/8) となり、これを計算すると (sinθ + cosθ)² = 1 + 5/4 = 9/4 となります。

ここで、(sinθ + cosθ)² = 9/4 となったので、sinθ + cosθ = ±3/2 となります。

問題で求められているのは、|sinθ + cosθ| です。したがって、sinθ + cosθ が±3/2 となった場合、絶対値を取ると、答えは 3/2 です。

つまり、|sinθ + cosθ| = 3/2 となります。

このように、三角関数の積から和を求める問題では、基本的な恒等式や式の展開を活用することが解法のカギとなります。特に、(sinθ + cosθ)²を使ったアプローチは非常に有効です。問題を解くときには、与えられた情報をもとに式を整理し、数学的な操作を順序立てて進めることが大切です。

この問題では、最終的に|sinθ + cosθ| = 3/2という答えを得ることができました。三角関数の問題に慣れることで、同様の問題にも迅速に対応できるようになります。