ax²e^(-ax) = 1 の自然対数を取った場合の解法

数学の問題で、ax²e^(-ax) = 1 という式において、両辺に自然対数を取る方法について解説します。この問題において、自然対数を取ることで式が簡単になり、問題を解くための手順が明確になります。この記事では、この過程をステップごとに解説し、どのように式が変化するのかを見ていきます。

1. 式の確認と自然対数を取る準備

まず、問題の式を確認しましょう。

ax²e^(-ax) = 1

この式において、自然対数（ln）を両辺に取ると、積の形になっている部分を分解できるため、計算が簡単になります。

両辺に自然対数を取ると、次のようになります。

ln(ax²e^(-ax)) = ln(1)

右辺は1の自然対数を取ったので、ln(1) = 0 となります。

次に左辺の自然対数を分解します。積の形であるため、次のように分けることができます。

ln(ax²e^(-ax)) = ln(ax²) + ln(e^(-ax))

それぞれの項を計算します。

ln(ax²) = ln(a) + ln(x²)

ln(x²) は 2ln(x) に変形できますので、次のようになります。

ln(ax²) = ln(a) + 2ln(x)

次に、ln(e^(-ax)) を考えます。自然対数と指数関数は逆関数の関係にあるため、ln(e^y) = y となり。

ln(e^(-ax)) = -ax

したがって、式は次のように変形されます。

ln(a) + 2ln(x) – ax = 0

このように、ax²e^(-ax) = 1 の式に対して自然対数を取った結果、次の式が得られました。

ln(a) + 2ln(x) – ax = 0

これにより、元の式を対数を使って簡単に解くことができました。自然対数を取ることで、計算が楽になり、解法の過程が明確になります。

このような手順を使って、複雑な式を簡単に解くことができます。ぜひ、自然対数を活用して様々な問題に挑戦してみてください。