「対称行列は直交行列で対角化できる」という性質は、線形代数において非常に重要です。しかし、この性質に関する定義に関して、少し混乱が生じることがあります。特に、対称行列を対角化する際に使う直交行列について、どの直交行列を使用するべきかについての疑問が生まれることがあります。この記事では、対称行列の対角化における直交行列の役割を解説し、具体的にどの直交行列が関わるのかを詳しく説明します。
対称行列とその固有ベクトルの関係
対称行列とは、行列AがA = A^T（転置行列と等しい）である行列のことを指します。対称行列は非常に特別な性質を持っており、例えば、すべての固有値が実数であることが保証されています。さらに、対称行列の固有ベクトルは互いに直交しているという特性があります。
これにより、対称行列を対角化する際には、固有ベクトルを用いて直交行列を構成し、その直交行列によって対角化を行うことができます。すなわち、対称行列Aは、直交行列Pによって対角化されるという性質があります。
直交行列による対角化の概要
対称行列Aを対角化するためには、まずAの固有ベクトルを求めます。これらの固有ベクトルは互いに直交しているため、固有ベクトルを列として並べた行列Pを構成することができます。
行列Pが直交行列であるためには、Pの転置行列P^TがPの逆行列と等しい、すなわちP^T = P^(-1)である必要があります。この直交行列Pを用いて、対称行列Aは次のように対角化されます。
A = P D P^Tここで、Dは対角行列で、Aの固有値がその対角要素として並びます。
直交行列が「その固有ベクトルから作られる」とは？
質問の中で「対称行列はその固有ベクトルから作られる直交行列によって対角化できる」と書かれていますが、この表現は少し誤解を招きやすいかもしれません。実際、対称行列を対角化するための直交行列Pは、固有ベクトルを基に構成されますが、「その固有ベクトルから作られる直交行列」という表現では、他の直交行列との混同が生じる可能性があります。
具体的には、対称行列Aの固有ベクトルを使って構成された直交行列Pを使って対角化を行いますが、その直交行列はAの固有ベクトルによって唯一決まるわけではなく、同じ固有ベクトルを異なる順番で並べ替えた場合にも、異なる直交行列を得ることができます。
直交行列の関係：固有ベクトルから直接作られる
そのため、「まったく関係のない直交行列によってその対称行列は対角化できる」という表現は誤解を招くことがあります。直交行列による対角化は、固有ベクトルを並べた行列Pを使いますが、その行列PはAの固有ベクトルを順番通りに並べることによって得られる唯一の直交行列です。
したがって、対称行列Aが対角化される際には、Aの固有ベクトルから作られる直交行列Pを使用する必要があり、任意の直交行列を使用して対角化することはできません。
まとめ
対称行列は、その固有ベクトルから構成された直交行列によって対角化されます。これにより、対称行列AはP D P^Tの形で対角化され、Dは対角行列で固有値が並びます。重要なのは、対称行列を対角化するための直交行列は、Aの固有ベクトルを基にして作られるものであり、任意の直交行列で対角化ができるわけではないことです。この理解を深めることで、対称行列の対角化を正確に行えるようになります。
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