x = 2aの場合、x² + 1が素数となるaが無限に存在する理由

「x = 2aの場合、x² + 1が素数となるaが無限に存在する」という問題に関して、その数学的な背景やディリクレの素数定理との関係について解説します。この記事では、条件付きでx² + 1が素数pとなるaの無限性を証明する方法を詳しく説明します。

問題の概要と式の整理

まず、x = 2a（偶数）の場合、x² + 1は次のように表されます。

x² + 1 = (2a)² + 1 = 4a² + 1

ここで、4a² + 1が素数pとなるaが無限に存在するという問題です。この式がどのようにして無限の解を持つのかを探ります。

条件1では、4a² + 1が「(4m + 1)(4n + 1)」の形に分解できるということが述べられています。これは、4a² + 1が奇素数である場合、その素因数が4n + 1型であることを意味します。具体的には、p = 5, 17, 37, …といった素数が4n + 1型素数です。

この分解から、aを特定の値にすると4a² + 1がこれらの4n + 1型素数を満たすことになります。例えば、a = 1のとき、x² + 1は5となり、これはp = 5に対応します。

条件2では、「4a² + 1の奇素因数は4n + 1型」とされています。これは、ガウス整数環 ℤ[i]における素因数分解の性質を示しています。

ガウス整数とは、複素数の形式a + bi（a, bは整数）で表される数のことです。この環では、素因数が通常の整数の素因数とは異なる方法で分解されることがあります。具体的には、4n + 1型の素数はガウス整数環では素因数として現れることが知られています。

ディリクレの素数定理によれば、4n + 1型の素数は無限に存在することが証明されています。この定理を使うと、4a² + 1が素数pとなるaの無限性を示すことができます。

このように、ディリクレの素数定理に基づいて、4a² + 1の形式で素数を見つけるaの無限性が保証されます。したがって、x = 2aの条件下でx² + 1が素数となるaは無限に存在することが確定します。

いくつかの具体例を見てみましょう。p = 5の場合、a = 1, x = 2が条件を満たします。同様に、p = 17の場合はa = 2, x = 4が条件を満たします。これらの例からもわかるように、x² + 1が素数になるaの値は無限に存在します。

「x = 2aの場合、x² + 1が素数となるaが無限に存在する」という問題は、ガウス整数環ℤ[i]の性質やディリクレの素数定理を活用することで、無限に解が存在することが理解できます。4a² + 1が4n + 1型素数を満たすため、aの値は無限に続くことが保証されています。