「1 + xi / (3 + i)が純虚数になるようにxを求める問題」では、まず虚数単位「i」の性質とその重要性を理解することが鍵となります。この問題を解くためには、iの性質を十分に把握し、式の変形方法を理解することが必要です。この記事では、「iの2乗が−1」という定義がなぜ成立するのか、また、純虚数を求める方法について解説します。
虚数単位iとその性質
まず、虚数単位「i」について説明します。虚数iは、次の式で定義されます。
i² = −1
この定義が非常に重要です。なぜなら、iは実数では存在しない数であり、iの2乗が−1であるという特性を使って、実数解では解けない問題に対して解を与えることができるからです。iを使った計算は、複素数の領域で広く利用されています。
なぜiの2乗は−1になるのか？
「iの2乗が−1である」という定義は、実数で解けない方程式を解くために導入されたものです。例えば、方程式x² + 1 = 0を考えたとき、実数では解が存在しませんが、虚数「i」を導入することで、解はx = ±iになります。
このように、iの2乗が−1であるという定義は、実数だけでは扱えなかった数学的な問題を解決するための有用なツールとなります。iの性質を理解することで、複素数の計算や、波動の解析などさまざまな分野に応用できるようになります。
問題の解法：純虚数を求める方法
「1 + xi / (3 + i)が純虚数になるようにxを求める問題」を解くためには、まず与えられた式を複素数の形に変換する必要があります。純虚数は、実数部分が0である複素数のことを指します。
与えられた式は次のようになります。
1 + xi / (3 + i)
まず、分母を実数化するために、分母と分子に「3 – i」を掛けます。この操作により、式が簡単化されます。計算すると、次のようになります。
1 + xi / (3 + i) × (3 – i) / (3 – i)
この計算を進めていくと、実数部分と虚数部分に分けることができます。虚数部分だけが残るように、xの値を求めることができます。
純虚数とは？
純虚数とは、複素数のうち、実数部分が0で、虚数部分だけが残っている数を指します。例えば、3iや-4iのような数が純虚数です。純虚数になるためには、実数部分が0でなければなりません。
問題を解く際には、純虚数の定義に基づき、実数部分を0にするために必要な条件を求めます。これが、与えられた式からxを求める過程となります。
まとめ
「iの2乗が−1である」という定義は、虚数の基本的な性質であり、複素数を扱う際の重要な基盤となります。この性質を理解することで、複素数の計算や問題を解くための理解が深まります。
「1 + xi / (3 + i)が純虚数になるようにxを求める問題」では、与えられた式を変形して実数部分を0にするためのxの値を求めました。複素数や純虚数に関する理解を深めることで、さらに難解な問題にも対応できるようになります。
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