この問題では、複素数解x = 1 – 2iが方程式x^3 – x^2 + ax + b = 0の解であるとき、実数a、bを求める方法を解説します。代入法を使用することで、この方程式におけるaとbの値を算出することができます。具体的な手順を順を追って説明していきます。
1. 方程式の設定
与えられた方程式はx^3 – x^2 + ax + b = 0です。解の一つとしてx = 1 – 2iが与えられています。複素数解には、共役複素数もまた方程式の解となります。したがって、x = 1 + 2iも解として存在します。
したがって、この方程式には少なくとも2つの解があることがわかります。さらに、実数解を1つ仮定し、3つの解がすべてわかれば、係数aとbを求めるための式を作成できます。
2. 解の設定と因数分解
方程式の解がx = 1 – 2i、x = 1 + 2i、そしてもう一つの実数解をrとすると、元の方程式は次のように因数分解できます。
(x – (1 – 2i))(x – (1 + 2i))(x – r) = 0
まず、(x – (1 – 2i))(x – (1 + 2i))の部分を展開します。これを計算すると、次のようになります。
(x – 1 + 2i)(x – 1 – 2i) = (x – 1)^2 + 4 = x^2 – 2x + 5
3. 方程式に代入する
したがって、方程式は次のようになります。
(x^2 – 2x + 5)(x – r) = 0
この式を展開し、元の方程式x^3 – x^2 + ax + b = 0と比較することで、係数aとbを求めることができます。
展開した式は次のようになります。
x^3 – rx^2 – 2x^2 + 2rx + 5x – 5r = 0
これを整理すると、次のようになります。
x^3 – (r + 2)x^2 + (2r + 5)x – 5r = 0
4. 比較してaとbを求める
元の方程式x^3 – x^2 + ax + b = 0と比較すると、次の関係が得られます。
-r – 2 = -1 → r = -1
次に、xの係数からaを求めます。
2r + 5 = a → 2(-1) + 5 = 3 → a = 3
最後に、定数項からbを求めます。
-5r = b → -5(-1) = 5 → b = 5
5. まとめ
したがって、方程式x^3 – x^2 + ax + b = 0において、解x = 1 – 2iが含まれる場合、実数aとbの値はそれぞれa = 3、b = 5となります。この方法では、代入法を用いて、与えられた複素数解と方程式の係数との関係を導き出しました。
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