接点を持つ共通接線の求め方：P, E, Dの関係と接点座標

この問題は、二つの関数PとEが接点を持つ条件に基づいて、接点の座標を求める問題です。Pは放物線、Eは円の方程式であり、Dは放物線の上にある領域です。この問題では、D⊃Eとなるようにr（円の半径）を動かし、PとEが接点を持つ条件を求めます。

関数P, E, Dの式とその関係

まず、与えられた関数を整理します。関数Pは、放物線の方程式として次のように与えられています。

P: y = x² – 1

関数Eは円の方程式として次のように表されます。

E: 2x² + (y – a)² = r²

また、領域Dはy ≧ x² – 1という不等式で示されています。ここで、rとaは正の実数です。D⊃Eとなるようにrを動かすとき、PとEが接点を持つ場合、その接点の座標を求めることが目的です。

接点とは、二つの曲線が交わる点であり、その点において共通の接線を持つことを意味します。PとEが接点を持つためには、二つの曲線が一点で交わり、その点での接線が一致していなければなりません。

この条件を満たすためには、PとEの方程式を連立させ、接点の座標を求める必要があります。まず、放物線Pの方程式からyの値を代入して、Eの方程式を解くことで接点を求めます。

Pの方程式から、y = x² – 1と得られるので、このyの値をEの方程式に代入します。Eの方程式は次のように変形されます。

2x² + (x² – 1 – a)² = r²

この方程式を展開し、xの値を求めます。最終的に得られるxの値に対応するyの値を求めることで、接点の座標を得ることができます。

接点の座標を求めるためには、連立方程式を解いた結果として得られるxの値と、それに対応するyの値を使用します。最終的な接点の座標は次のように求めることができます。

(x, y) = (x, x² – 1)

これにより、接点の座標を導き出すことができ、接点における共通接線が持つ性質を解析することができます。

この問題では、PとEが接点を持つ条件を導出し、接点の座標を求める方法を解説しました。Pの放物線とEの円が接点を持つためには、適切に連立方程式を解き、その交点を求めることが重要です。

最終的な接点の座標を求めることで、PとEが接する点を正確に理解できるようになります。また、このような接点の解析は、物理や数学における多くの応用に役立ちます。