「4 = √(25 – k)」のような平方根を含む方程式を解く際に、同値変形を行う際の注意点を解説します。特に、平方根を両辺で二乗する際の確認の必要性について、詳細に説明します。
問題の確認と解法の流れ
与えられた方程式「4 = √(25 – k)」を解くためには、まず平方根を取り除くことが一般的です。この場合、両辺を2乗して「16 = 25 – k」という式に変形します。ここで重要なのは、平方根の両辺を二乗する際に注意すべき点があることです。
解法としては、まず平方根を取り除くために両辺を二乗し、次にkの値を求めます。しかし、この操作を行うときには、同値変形の意味と注意点をしっかり理解しておく必要があります。
同値変形における注意点
平方根の両辺を二乗する際、一般的には「A = B」と「A² = B²」が常に同値になるわけではありません。特に、平方根を含む方程式では、両辺を二乗することで新たに不適切な解が生じる可能性があります。
「4 = √(25 – k)」の式では、解を求めた後に再度その解が元の式を満たすか確認することが非常に重要です。なぜなら、両辺を二乗することで、元々の式には適合しない解が生じることがあるからです。つまり、k = 9が得られたとしても、それが元の式「4 = √(25 – k)」に適合するかは後で確認する必要があります。
解の確認方法
k = 9を求めた後、元の式に代入して確認を行うことが大切です。
- 元の式にk = 9を代入：4 = √(25 – 9)
- 計算結果：4 = √16
- √16 = 4となり、元の式を満たすので、k = 9は正しい解であることが確認できます。
このように、解を求めた後には必ず元の式に代入して確認することが数学的には必須です。
同値変形の理解を深めるための実践
数学における同値変形は非常に重要な概念ですが、特に平方根や絶対値を含む場合には注意が必要です。一般的には、両辺に平方をかけることで式を簡単にすることができますが、それが正しい解を導くとは限りません。
実際の問題で同値変形を使う際は、得られた解が元の式を満たすか必ず確認しましょう。また、複雑な式の場合、複数の方法で解を検討することも有効です。
まとめ
平方根を含む方程式を解く際に重要なのは、解を得た後にその解が元の式を満たすかどうかを確認することです。同値変形における注意点を理解し、適切に解法を進めることで、正しい答えにたどり着くことができます。
今回の問題では、k = 9が解であることが確認されましたが、他の問題でも同様に確認を怠らず、解法を確実に身につけていきましょう。
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