大学物理：半径aの円盤の質量の求め方

この問題では、半径aの円盤の質量を求める方法を紹介します。円盤の質量は、その単位面積あたりの質量σ(r)が中心からの距離rの関数であるという条件に基づいて計算されます。本記事では、σ(r) = σ₀ + σ₂r²という式を使って、円盤全体の質量を求める手順を解説します。

1. 問題の理解

円盤の質量は、単位面積あたりの質量σ(r)がrに依存する場合に、微小な円環部分の質量を求め、その後円盤全体の質量を積分によって求める方法で計算します。ここで、rは中心からの距離、σ(r)はrに依存する質量密度です。問題の条件により、σ(r)はσ₀ + σ₂r²という形で与えられています。

微小な円環部分の質量は、半径rからr + drまでの範囲の質量を求めることで求められます。この質量は以下のように表現できます。

質量 = σ(r) × 2πr × dr

ここで、σ(r) = σ₀ + σ₂r²を代入することができます。この式により、微小な円環部分の質量が求められます。

円盤全体の質量を求めるためには、rを0からaまで積分する必要があります。したがって、円盤全体の質量Mは次の式で表されます。

M = ∫₀ᵃ σ(r) × 2πr dr

σ(r) = σ₀ + σ₂r²を代入し、積分を行うと、円盤全体の質量が得られます。

実際に積分を行います。まず、σ(r)を代入して、次のように積分します。

M = ∫₀ᵃ (σ₀ + σ₂r²) × 2πr dr

この積分を分けて計算します。

M = 2πσ₀∫₀ᵃ r dr + 2πσ₂∫₀ᵃ r³ dr

それぞれの積分を計算すると、次のようになります。

M = 2πσ₀[ (1/2)r² ]₀ᵃ + 2πσ₂[ (1/4)r⁴ ]₀ᵃ

これにより、円盤の質量Mが次のように求められます。

M = πa²σ₀ + πa⁴σ₂/2

最終的に、円盤全体の質量Mは上記のように求めることができます。これにより、物理学における円盤の質量の計算方法が理解できたかと思います。このような積分を利用した質量計算は、円形の対象物や回転対称の物体においてよく用いられる手法です。